comp_1_数学类_初赛_1
📝 题目
第一题：（15 分）求经过三平行直线 $L_{1}: x=y=z, ~ L_{2}: x-1=y=z+1$ ， $L_{3}: x=y+1=z-1$ 的圆柱面的方程．
💡 答案解析
【参考解析】：先求圆柱面的轴 $\boldsymbol{L}_{\mathbf{0}}$ 的方程．由已知条件易知，圆柱面母线的方向是 $\vec{n}=(1,1,1)$ ，且圆柱面经过点 $O(0,0,0)$ ，过点 $O(0,0,0)$ 且垂直于 $\vec{n}=(1,1,1)$ 的平面 $\pi$ 的方程为：$x+y+z=0 . \pi$ 与三已知直线的交点分别为
$$
O(0,0,0), P(1,0,-1), Q(0,-1,1) \text { 。 }
$$
圆柱面的轴 $L_{0}$ 是到这三点等距离的点的轨迹，即
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2} \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}
\end{array}\right.
$$
即 $\left\{\begin{array}{l}x-z=1 \\ y-z=-1\end{array}\right.$ 。将 $L_{0}$ 的方程改为标准方程 $x-1=y+1=z$ 。圆柱面的半径即为平行直线 $x=y=z$ 和 $x-1=y+1=z$ 间的距离．$P_{0}(1,-1,0)$ 为 $L_{0}$ 上的点。对圆柱面上任意一点 $S(x, y, z)$ ，有 $\displaystyle \frac{\left|\vec{n} \times \overrightarrow{P_{0} S}\right|}{|\vec{n}|}=\frac{\left|\vec{n} \times \overrightarrow{P_{0} O}\right|}{|\vec{n}|}$ ，即
$$
(-y+z-1)^{2}+(x-z-1)^{2}+(-x+y+2)^{2}=6
$$
所以，所求圆柱面的方程为：
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z-3 x+3 y=0
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定圆柱面的母线方向
由三条平行直线的方程 $L_1: x=y=z$, $L_2: x-1=y=z+1$, $L_3: x=y+1=z-1$，可知它们的方向向量均为 $\vec{n}=(1,1,1)$，因此圆柱面的母线方向也是 $\vec{n}=(1,1,1)$。
提示：注意将直线方程化为对称式，提取方向向量。
步骤 2/6
目标：构造垂直于母线的平面并求交点
取平面 $\pi: x+y+z=0$，该平面垂直于 $\vec{n}$。将 $L_1$ 代入得 $O(0,0,0)$；将 $L_2$ 的参数式 $x=t+1, y=t, z=t-1$ 代入得 $t=0$，得 $P(1,0,-1)$；将 $L_3$ 的参数式 $x=t, y=t-1, z=t+1$ 代入得 $t=0$，得 $Q(0,-1,1)$。
提示：参数化直线时注意参数的一致性，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：求圆柱面的轴方程
圆柱面的轴 $L_0$ 是到 $O,P,Q$ 等距离的点的轨迹。由 $|SO|=|SP|$ 得 $x^2+y^2+z^2=(x-1)^2+y^2+(z+1)^2$，化简得 $x-z=1$。由 $|SO|=|SQ|$ 得 $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+1)^2+(z-1)^2$，化简得 $y-z=-1$。联立得 $\begin{cases} x-z=1 \\ y-z=-1 \end{cases}$，化为对称式 $x-1=y+1=z$。
公式：两点间距离公式
提示：化简时注意移项和符号，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：确定圆柱面的半径
圆柱面的半径等于母线 $L_1$ 与轴 $L_0$ 之间的距离。取 $L_0$ 上一点 $P_0(1,-1,0)$，$L_1$ 上一点 $O(0,0,0)$，则半径 $r = \frac{|\vec{n} \times \overrightarrow{P_0O}|}{|\vec{n}|}$。计算 $\overrightarrow{P_0O}=(-1,1,0)$，$\vec{n}\times\overrightarrow{P_0O} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1, -1, 2)$，模为 $\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$，$|\vec{n}|=\sqrt{3}$，故 $r=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$。
公式：点到直线的距离公式 $d=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}|}$
提示：注意向量叉积的计算，避免坐标顺序错误。
步骤 5/6
目标：建立圆柱面方程
对圆柱面上任意一点 $S(x,y,z)$，有 $\frac{|\vec{n}\times\overrightarrow{P_0S}|}{|\vec{n}|}=r$，即 $|\vec{n}\times\overrightarrow{P_0S}|^2 = r^2 |\vec{n}|^2 = 2 \times 3 = 6$。计算 $\overrightarrow{P_0S}=(x-1, y+1, z)$，$\vec{n}\times\overrightarrow{P_0S} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x-1 & y+1 & z \end{vmatrix} = (z - y - 1, x - z - 1, y - x + 2)$。平方和得 $(z-y-1)^2+(x-z-1)^2+(y-x+2)^2=6$。
公式：向量叉积公式
提示：展开平方时注意各项系数，避免遗漏交叉项。
步骤 6/6
目标：化简得到最终方程
展开 $(z-y-1)^2+(x-z-1)^2+(y-x+2)^2=6$：
$(z-y-1)^2 = z^2+y^2+1-2yz-2z+2y$，
$(x-z-1)^2 = x^2+z^2+1-2xz-2x+2z$，
$(y-x+2)^2 = y^2+x^2+4-2xy+4y-4x$。
三式相加得 $2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz-6x+6y+6=6$，即 $x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-3x+3y=0$。
提示：合并同类项时仔细，注意常数项抵消。
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