comp_1_数学类_决赛_6
📝 题目
六、（13 分）已知两直线的方程：$\displaystyle L: x=y=z, L^{\prime}: \frac{x}{1}=\frac{y}{a}=\frac{z-b}{1}$ ．
（1）问：参数 $a, b$ 满足什么条件时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线？
（2）当 $L$ 与 $L^{\prime}$ 不重合时，求 $L^{\prime}$ 绕 $L$ 旋转所生成的旋转面 $\pi$ 的方程，并指出曲面 $\pi$ 的类型．
💡 答案解析
【参考解答】：（1）$L, L^{\prime}$ 的方向向量分别为
$$
\vec{n}=(1,1,1), \overrightarrow{n^{\prime}}=(1, a, 1)
$$
分别取 $L, L^{\prime}$ 上的点 $O(0,0,0), P(0,0, b) . L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线当且仅当矢量 $\vec{n}, \overrightarrow{n^{\prime}}, \overrightarrow{O P}$ 不共面，即它们的混合积不为零：
$$
\left(\vec{n}, \overrightarrow{n^{\prime}}, \overrightarrow{O P}\right)=\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
0 & 0 & b
\end{array}\right|=(a-1) b \neq 0
$$
所以，$L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线当且仅当 $a \neq 1$ 且 $b \neq 0$ ．
（2）假设 $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)$ 是 $\pi$ 上任一点，于是 $\boldsymbol{P}$ 必定是 $\boldsymbol{L}^{\prime}$ 上一点 $\boldsymbol{P}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}, z^{\prime}\right)$ 绕 $\boldsymbol{L}$ 旋转所生成的。由于 $\overrightarrow{\boldsymbol{P}^{\prime} \boldsymbol{P}}$ 与 $L$ 垂直，所以，$\quad\left(x-x^{\prime}\right)+\left(y-y^{\prime}\right)+\left(z-z^{\prime}\right)=0 \quad$（1）
又由于 $P^{\prime}$ 在 $L^{\prime}$ 上，所以，$\displaystyle \frac{x^{\prime}}{1}=\frac{y^{\prime}}{a}=\frac{z^{\prime}-b}{1}$ ，（2）
因为 $L$ 经过坐标原点，所以，$P, P^{\prime}$ 到原点的距离相等，故，
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}
$$
将（1），（2），（3）联立，消去其中的 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ ：
令 $\displaystyle \frac{x^{\prime}}{1}=\frac{y^{\prime}}{a}=\frac{z^{\prime}-b}{1}=t$ ，将 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ 用 $t$ 表示：
$$
x^{\prime}=t, y^{\prime}=a t, z^{\prime}=t+b
$$
将（4）代入（1），得
$$
(a+2) t=x+y+z-b
$$
当 $a \neq-2$ ，即 $L$ 与 $L^{\prime}$ 不垂直时，解得
$$
t=\frac{1}{a+2}(x+y+z-b)
$$
据此，再将（4）代入（3），得到 $\pi$ 的方程：
$$
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2}+z^{2}- & \frac{a^{2}+2}{(a+2)^{2}}(x+y+z-b)^{2} \\
& -\frac{2 b}{a+2}(x+y+z-b)-b^{2}=0
\end{aligned}
$$
当 $a=-2$ 时，由（5）得，$x+y+z=b$ ，这表明，$\pi$ 在这个平面上．同时，将（4）代入（3），有
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 t^{2}+2 b t+b^{2}=6\left(t+\frac{1}{6} b\right)^{2}+\frac{5}{6} b^{2}
$$
由于 $t$ 可以是任意的，所以，这时，$\pi$ 的方程为：
$$
\left\{\begin{aligned}
x+y+z & =b \\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & \geq \frac{5}{6} b^{2}
\end{aligned}\right.
$$
$\pi$ 的类型：$a=1$ 且 $b \neq 0$ 时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 平行，$\pi$ 是一柱面；$a \neq 1$ 且 $b=0$ 时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 相交，$\pi$ 是一锥面（ $a=-2$ 时 $\pi$ 是平面）；当 $a \neq 1$ 且 $b \neq 0$ 时，$\pi$ 是单叶双曲面（ $a=-2$ 时，$\pi$ 是去掉一个圆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求方向向量和定点
直线 $L: x=y=z$ 的方向向量为 $\vec{n}=(1,1,1)$，过原点 $O(0,0,0)$。直线 $L': \frac{x}{1}=\frac{y}{a}=\frac{z-b}{1}$ 的方向向量为 $\vec{n'}=(1,a,1)$，过点 $P(0,0,b)$。
提示：注意直线方程的标准形式，方向向量由分母给出，定点由分子为零得到。
步骤 2/6
目标：异面直线条件
两直线异面当且仅当方向向量和连接两直线上点的向量不共面，即混合积不为零。计算混合积：
$$(\vec{n}, \vec{n'}, \overrightarrow{OP}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & b \end{vmatrix} = (a-1)b \neq 0$$
所以 $a \neq 1$ 且 $b \neq 0$。
公式：混合积 $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$
提示：混合积为零表示三向量共面，直线可能平行或相交。
步骤 3/6
目标：设旋转面上任一点并建立关系
设 $P(x,y,z)$ 是旋转面 $\pi$ 上任一点，它由 $L'$ 上一点 $P'(x',y',z')$ 绕 $L$ 旋转得到。则 $\overrightarrow{P'P}$ 垂直于 $L$，即 $(x-x')+(y-y')+(z-z')=0$。又 $P'$ 在 $L'$ 上，设参数 $t$：$x'=t, y'=at, z'=t+b$。且 $P$ 和 $P'$ 到原点距离相等：$x^2+y^2+z^2 = x'^2+y'^2+z'^2$。
公式：距离相等：$|OP|=|OP'|$
提示：旋转轴过原点，所以到原点距离不变。
步骤 4/6
目标：消去参数求方程（一般情况）
将 $x',y',z'$ 代入垂直条件得：$(x-t)+(y-at)+(z-t-b)=0$，即 $x+y+z-b = (a+2)t$。当 $a \neq -2$ 时，$t = \frac{x+y+z-b}{a+2}$。代入距离相等方程：
$$x^2+y^2+z^2 = t^2 + a^2 t^2 + (t+b)^2 = (a^2+2)t^2 + 2bt + b^2$$
将 $t$ 表达式代入并整理得：
$$x^2+y^2+z^2 - \frac{a^2+2}{(a+2)^2}(x+y+z-b)^2 - \frac{2b}{a+2}(x+y+z-b) - b^2 = 0$$
提示：注意 $a=-2$ 需单独讨论，此时分母为零。
步骤 5/6
目标：讨论特殊情况 $a=-2$
当 $a=-2$ 时，垂直条件变为 $x+y+z=b$，即所有点都在平面 $x+y+z=b$ 上。距离相等方程：$x^2+y^2+z^2 = 6t^2+2bt+b^2$，由于 $t$ 任意，右边最小值为 $\frac{5}{6}b^2$（当 $t=-b/6$ 时）。所以旋转面为平面上的圆盘外部（或去掉一个圆）：
$$\begin{cases} x+y+z = b \\ x^2+y^2+z^2 \geq \frac{5}{6}b^2 \end{cases}$$
公式：二次函数最小值
提示：此时 $L$ 与 $L'$ 垂直，旋转面退化为平面区域。
步骤 6/6
目标：判断曲面类型
根据 $a,b$ 取值分类：
- 当 $a=1$ 且 $b \neq 0$ 时，$L$ 与 $L'$ 平行，旋转面为圆柱面（或柱面）。
- 当 $a \neq 1$ 且 $b=0$ 时，$L$ 与 $L'$ 相交，旋转面为圆锥面（$a=-2$ 时为平面）。
- 当 $a \neq 1$ 且 $b \neq 0$ 时，旋转面为单叶双曲面（$a=-2$ 时为去掉一个圆的平面区域）。
提示：注意 $a=-2$ 时曲面退化为平面区域，不是二次曲面。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。