comp_2_数学类_初赛_1
📝 题目
一、（本题共 10 分）设 $\varepsilon \in(0,1), ~ x_{0}=a, ~ x_{n+1}=a+\varepsilon \sin x_{n}(n=0,1,2 \cdots)$ ．
证明 $\xi=\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在，且 $\xi$ 为方程 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的唯一根．
💡 答案解析
【证明】：注意到 $\left|(\sin x)^{\prime}\right|=|\cos x| \leq 1$ ，由中值定理，有
$$
|\sin x-\sin y| \leq|x-y|, \forall x, y \in R
$$
所以
$$
\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|=\left|\varepsilon\left(\sin x_{n+1}-\sin x_{n}\right)\right| \leq \varepsilon\left|x_{n+1}-x_{n}\right|, n=0,1,2, \cdots
$$
从而可得
$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq \varepsilon^{n}\left|x_{1}-x_{0}\right|, \forall n=0,1,2, \cdots
$$
于是级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收敛，从而 $\xi=\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 极限存在。
对于递推式 $x_{n+1}=a+\varepsilon \sin x_{n}$ 两边取极限即得 $\xi$ 为 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的根。
进一步，设 $\eta$ 也为 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的根，则
$$
|\xi-\eta|=\varepsilon|\sin \xi-\sin \eta| \leq \varepsilon|\xi-\eta|
$$
所以由 $\varepsilon \in(0,1)$ 可得 $\eta=\xi$ ，即 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的根唯一。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用中值定理估计正弦函数差
由于 $|(\sin x)'| = |\cos x| \leq 1$，根据拉格朗日中值定理，对任意实数 $x, y$，存在 $\xi$ 介于 $x, y$ 之间，使得 $\sin x - \sin y = \cos \xi (x-y)$，从而 $|\sin x - \sin y| \leq |x-y|$。
公式：$|\sin x - \sin y| \leq |x-y|$
提示：注意中值定理的条件是函数可导，$\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且导数的绝对值有界。
步骤 2/6
目标：建立相邻项差的递推不等式
由递推式 $x_{n+1} = a + \varepsilon \sin x_n$，计算相邻两项差：$|x_{n+2} - x_{n+1}| = |\varepsilon (\sin x_{n+1} - \sin x_n)| \leq \varepsilon |x_{n+1} - x_n|$，其中 $\varepsilon \in (0,1)$。
公式：$|x_{n+2} - x_{n+1}| \leq \varepsilon |x_{n+1} - x_n|$
提示：注意绝对值内是 $\sin x_{n+1} - \sin x_n$，利用上一步的不等式。
步骤 3/6
目标：递推得到相邻项差的上界
反复应用上一步的不等式，可得 $|x_{n+1} - x_n| \leq \varepsilon^n |x_1 - x_0|$，对 $n=0,1,2,\dots$ 成立。
公式：$|x_{n+1} - x_n| \leq \varepsilon^n |x_1 - x_0|$
提示：注意递推的起点：$|x_2 - x_1| \leq \varepsilon |x_1 - x_0|$，然后归纳。
步骤 4/6
目标：证明极限存在
考虑级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (x_{n+1} - x_n)$，其通项绝对值 $|x_{n+1} - x_n| \leq |x_1 - x_0| \varepsilon^n$，而 $\sum \varepsilon^n$ 收敛（几何级数，$0<\varepsilon<1$），故级数绝对收敛，从而部分和 $x_n - x_0 = \sum_{k=0}^{n-1} (x_{k+1} - x_k)$ 收敛，即 $\lim_{n\to\infty} x_n$ 存在，记为 $\xi$。
提示：绝对收敛推出级数收敛，从而数列极限存在。
步骤 5/6
目标：证明极限是方程的根
对递推式 $x_{n+1} = a + \varepsilon \sin x_n$ 两边取极限 $n\to\infty$，由 $\sin x$ 的连续性，得 $\xi = a + \varepsilon \sin \xi$，即 $\xi - \varepsilon \sin \xi = a$，故 $\xi$ 是方程 $x - \varepsilon \sin x = a$ 的根。
提示：注意 $\sin x$ 连续，极限与函数可交换。
步骤 6/6
目标：证明方程根的唯一性
设 $\eta$ 也是方程 $x - \varepsilon \sin x = a$ 的根，则 $\xi - \eta = \varepsilon (\sin \xi - \sin \eta)$。取绝对值并利用第一步的不等式：$|\xi - \eta| = \varepsilon |\sin \xi - \sin \eta| \leq \varepsilon |\xi - \eta|$。由于 $0<\varepsilon<1$，移项得 $(1-\varepsilon)|\xi-\eta| \leq 0$，故 $|\xi-\eta|=0$，即 $\eta=\xi$。因此方程根唯一。
公式：$|\xi - \eta| \leq \varepsilon |\xi - \eta|$
提示：注意 $\varepsilon<1$ 是关键，否则不能推出唯一性。
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