comp_2_数学类_初赛_2
📝 题目
二、（本题共 15 分）设 $B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 10 & 30 \\ 0 & 0 & 2010 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．证明 $X^{2}=B$ 无解，这里 $X$ 为三阶未知复方阵。
💡 答案解析
【证明】：反证法．设方程有解，即存在复矩阵 $A$ 使得 $A^{2}=B$ ．注意到 $B$ 的特征根为 0 ，且其代数重根为 3 。
设 $\lambda$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征根，则 $\boldsymbol{\lambda}^{2}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的特征根，所以 $\boldsymbol{\lambda}=\mathbf{0}$ ．从而 $\boldsymbol{A}$ 的特征根为 0 ．于是 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准型只可能为
$$
J_{1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), J_{3}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
从而 $A^{2}$ 的 Jordan 标准型只能为 $J_{1}=J_{1}^{2}=J_{2}^{2}$ 或 $J_{2}=J_{3}^{2}$ ．因此 $A^{2}$ 的秩不大于 1 ，与 $B=A^{2}$ 的秩为 2 矛盾．所以 $X^{2}=B$ 无解．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设存在解并分析特征值
假设存在复矩阵 $A$ 使得 $A^2 = B$。由于 $B$ 是严格上三角矩阵，其特征值全为 0，且代数重数为 3。设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $B$ 的特征值，故 $\lambda^2 = 0$，从而 $\lambda = 0$。因此 $A$ 的所有特征值均为 0。
公式：$\lambda^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 0$
提示：注意特征值的平方关系：若 $A^2 = B$，则 $B$ 的特征值是 $A$ 的特征值的平方。
步骤 2/5
目标：确定A的Jordan标准型可能形式
由于 $A$ 是 3 阶矩阵且特征值全为 0，其 Jordan 标准型只可能是以下三种之一：
$$J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad J_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：Jordan标准型由Jordan块的个数和大小决定，注意特征值为0时Jordan块对角元为0。
步骤 3/5
目标：计算每种Jordan标准型的平方
计算 $J_1^2$：显然 $J_1^2 = 0$。
计算 $J_2^2$：$J_2^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = 0$。
计算 $J_3^2$：$J_3^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$J_3^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：计算Jordan块的平方时，注意幂次会使对角线上的1向右移动。
步骤 4/5
目标：分析A^2的Jordan标准型
由于 $A$ 相似于某个 $J_i$，则 $A^2$ 相似于 $J_i^2$。由上述计算，$J_1^2$ 和 $J_2^2$ 均为零矩阵，$J_3^2$ 的秩为 1。因此 $A^2$ 的秩至多为 1。
公式：秩($A^2$) ≤ 1
提示：相似矩阵的秩相同，因此只需考虑Jordan标准型的平方的秩。
步骤 5/5
目标：计算B的秩并导出矛盾
计算 $B$ 的秩：$B = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 30 \\ 0 & 0 & 2010 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其第一行和第二行线性无关，第三行为零，故秩为 2。但 $A^2 = B$，而 $A^2$ 的秩 ≤ 1，矛盾。因此假设不成立，原方程无解。
公式：秩($B$) = 2
提示：计算矩阵秩时，注意非零行或列是否线性无关。
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