comp_2_数学类_初赛_3
📝 题目
三、（本题共 10 分）设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 是凸区域，函数 $f(x, y)$ 是凸函数．证明或否定：$f(x, y)$ 在 $D$上连续．
注：函数 $f(x, y)$ 为凸函数的定义是 $\forall \alpha \in(0,1)$ 以及 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D$ ，成立
$$
f\left(\alpha x_{1}+(1-\alpha) x_{2}, \alpha y_{1}+(1-\alpha) y_{2}\right) \leq \alpha f\left(x_{1}, y_{1}\right)+(1-\alpha) f\left(x_{2}, y_{2}\right) .
$$
💡 答案解析
【证明】：结论成立．分两步证明结论．
（i）对于 $\delta>0$ 以及 $\left[x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right]$ 上的凸函数 $g(x)$ ，容易验证 $\forall x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ ：
$$
\frac{g\left(x_{0}\right)-g\left(x_{0}-\delta\right)}{\delta} \leq \frac{g(x)-g\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq \frac{g\left(x_{0}+\delta\right)-g\left(x_{0}\right)}{\delta}
$$
从而
$$
\left|\frac{g(x)-g\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\right| \leq\left|\frac{g\left(x_{0}+\delta\right)-g\left(x_{0}\right)}{\delta}\right|+\left|\frac{g\left(x_{0}\right)-g\left(x_{0}-\delta\right)}{\delta}\right|, \forall \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) .
$$
由此即得 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})$ 在 $x_{0}$ 连续。一般地，可得开区间上的一元凸函数连续。
（ii）设 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ ，则有 $\delta>0$ 使得
$$
E_{\delta} \equiv\left[x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right] \times\left[y_{0}-\delta, y_{0}+\delta\right] \subset D .
$$
注意到固定 $x$ 或 $y$ 时，$f(x, y)$ 作为一元函数都是凸函数，由（i）的结论， $f\left(x, y_{0}\right), f\left(x, y_{0}+\delta\right), f\left(x, y_{0}-\delta\right)$ 都是 $x \in\left[x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right]$ 上的连续函数，从而它们有界，即存在常数 $M_{\delta}>0$ 使得
$$
\frac{\frac{\left|f\left(x, y_{0}+\delta\right)-f\left(x, y_{0}\right)\right|}{\delta}+\frac{\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x, y_{0}-\delta\right)\right|}{\delta}+}{\frac{\left|f\left(x_{0}+\delta, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|}{\delta}+\frac{\left|f\left(x_{0}, y_{0}\right)-f\left(x_{0}-\delta, y_{0}\right)\right|}{\delta} \leq M_{\delta},}
$$
进一步，由（i）的结论，对于 $(x, y) \in E_{\delta}$ ，
$$
\begin{aligned}
& \left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \leq\left|f(x, y)-f\left(x, y_{0}\right)\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \\
& \leq\left(\frac{\left|f\left(x, y_{0}+\delta\right)-f\left(x, y_{0}\right)\right|}{\delta}+\frac{\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x, y_{0}-\delta\right)\right|}{\delta}\right)\left|y-y_{0}\right|+ \\
& \left.\quad \left\lvert\, \frac{\left|f\left(x_{0}+\delta, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|}{\delta}+\frac{\left|f\left(x_{0}, y_{0}\right)-f\left(x_{0}-\delta, y_{0}\right)\right|}{\delta}\right.\right)\left|x-x_{0}\right| \\
& \quad \leq M_{\delta}\left|y-y_{0}\right|+M_{\delta}\left|x-x_{0}\right| .
\end{aligned}
$$
于是 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明一元凸函数在开区间上连续
设 $g(x)$ 是区间 $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ 上的凸函数。对任意 $x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$，由凸函数的斜率单调性可得：
$$
\frac{g(x_0)-g(x_0-\delta)}{\delta} \leq \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{g(x_0+\delta)-g(x_0)}{\delta}.
$$
因此
$$
\left|\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right| \leq \left|\frac{g(x_0+\delta)-g(x_0)}{\delta}\right| + \left|\frac{g(x_0)-g(x_0-\delta)}{\delta}\right|.
$$
令 $x \to x_0$，则 $|g(x)-g(x_0)| \leq M|x-x_0|$，其中 $M$ 为常数，故 $g$ 在 $x_0$ 连续。从而开区间上的凸函数连续。
公式：$$\frac{g(x_0)-g(x_0-\delta)}{\delta} \leq \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{g(x_0+\delta)-g(x_0)}{\delta}$$
提示：注意凸函数的斜率单调性：对于凸函数，割线斜率随自变量增大而增大。
步骤 2/6
目标：构造闭矩形邻域
由于 $D$ 是凸区域，对任意内点 $(x_0,y_0) \in D$，存在 $\delta>0$ 使得闭矩形 $E_\delta = [x_0-\delta, x_0+\delta] \times [y_0-\delta, y_0+\delta] \subset D$。
提示：凸区域保证存在这样的矩形邻域，因为凸集包含其内点的某个邻域。
步骤 3/6
目标：固定变量得到一元凸函数并利用连续性
固定 $y$ 时，$f(x,y)$ 关于 $x$ 是凸函数；固定 $x$ 时，$f(x,y)$ 关于 $y$ 是凸函数。由第一步结论，$f(x,y_0)$、$f(x,y_0+\delta)$、$f(x,y_0-\delta)$ 作为 $x$ 的函数在 $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ 上连续，因此有界。同理，$f(x_0+\delta,y)$、$f(x_0-\delta,y)$ 作为 $y$ 的函数有界。
提示：注意：凸函数在闭区间上连续，从而有界。
步骤 4/6
目标：利用凸性估计差商
对任意 $(x,y) \in E_\delta$，由凸性可得：
$$
\left|\frac{f(x,y)-f(x,y_0)}{y-y_0}\right| \leq \left|\frac{f(x,y_0+\delta)-f(x,y_0)}{\delta}\right| + \left|\frac{f(x,y_0)-f(x,y_0-\delta)}{\delta}\right|.
$$
同理，
$$
\left|\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\right| \leq \left|\frac{f(x_0+\delta,y_0)-f(x_0,y_0)}{\delta}\right| + \left|\frac{f(x_0,y_0)-f(x_0-\delta,y_0)}{\delta}\right|.
$$
公式：$$\left|\frac{f(x,y)-f(x,y_0)}{y-y_0}\right| \leq \frac{|f(x,y_0+\delta)-f(x,y_0)|}{\delta} + \frac{|f(x,y_0)-f(x,y_0-\delta)|}{\delta}$$
提示：应用第一步的差商估计时，注意将 $y$ 视为变量，$x$ 固定。
步骤 5/6
目标：定义常数M并得到Lipschitz估计
由于 $f(x,y_0+\delta)$、$f(x,y_0)$、$f(x,y_0-\delta)$ 在 $x \in [x_0-\delta,x_0+\delta]$ 上连续，它们有界，因此存在常数 $M_\delta>0$ 使得
$$
\frac{|f(x,y_0+\delta)-f(x,y_0)|}{\delta} + \frac{|f(x,y_0)-f(x,y_0-\delta)|}{\delta} \leq M_\delta,
$$
且
$$
\frac{|f(x_0+\delta,y_0)-f(x_0,y_0)|}{\delta} + \frac{|f(x_0,y_0)-f(x_0-\delta,y_0)|}{\delta} \leq M_\delta.
$$
于是，对任意 $(x,y) \in E_\delta$，有
$$
|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \leq |f(x,y)-f(x,y_0)| + |f(x,y_0)-f(x_0,y_0)| \leq M_\delta|y-y_0| + M_\delta|x-x_0|.
$$
公式：$$|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \leq M_\delta(|x-x_0|+|y-y_0|)$$
提示：注意：这里用到了三角不等式和差商估计，常数 $M_\delta$ 依赖于 $\delta$ 但固定。
步骤 6/6
目标：由Lipschitz连续性推出连续性
由上式，当 $(x,y) \to (x_0,y_0)$ 时，$|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \to 0$，因此 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续。由于 $(x_0,y_0)$ 是 $D$ 中任意内点，且凸区域的内点集即为 $D$（凸区域是开集？注意题目中 $D$ 是凸区域，通常指开凸集，但边界点可能不连续？实际上凸函数在凸区域内部连续，边界不一定。但题目说 $D$ 是凸区域，通常理解为开凸集，故结论成立。若 $D$ 包含边界，则边界点可能不连续，但题目未明确，通常凸区域指开凸集。
提示：注意：凸函数在凸区域内部连续，但在边界点不一定连续。本题中 $D$ 是凸区域，通常指开集，故结论成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。