comp_1_数学类_初赛_2
📝 题目
第二题：（20 分）设 $C^{n \times n}$ 是 $n \times n$ 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域 $C$ 上的线性空间，
$$
F=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \vdots & 0 & -a_{n} \\
1 & 0 & \vdots & 0 & -a_{n-1} \\
0 & 1 & \vdots & 0 & -a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \vdots & 1 & -a_{1}
\end{array}\right) .
$$
（1）假设 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ ，若 $A F=F A$ ，证明：
$$
A=a_{n 1} F^{n-1}+a_{n-11} F^{n-2}+\cdots+a_{21} F+a_{11} E ;
$$
（2）求 $C^{n \times n}$ 的子空间 $C(F)=\left\{X \in C^{n \times n} \mid F X=X F\right\}$ 的维数．
💡 答案解析
【参考解析】：（1）的证明：记
$$
A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right), M=a_{n 1} F^{n-1}+a_{n-11} F^{n-2}+\cdots+a_{21} F+a_{11} E .
$$
要证明 $M=A$ ，只需证明 $A$ 与 $M$ 的各个列向量对应相等即可．若以 $e_{i}$ 记第 $i$ 个基本单位列向量。于是，只需证明：对每个 $i, ~ M e_{i}=A e_{i}\left(=\alpha_{i}\right)$ 。
记 $\beta=\left(-a_{n},-a_{n-1}, \cdots,-a_{1}\right)^{T}$ ，则 $F=\left(e_{2}, e_{3}, \cdots, e_{n}, \beta\right)$ 。注意到，
$$
\begin{aligned}
& F e_{1}=e_{2}, F^{2} e_{1}=F e_{2}=e_{3}, \cdots, \\
& F^{n-1} e_{1}=F\left(F^{n-2} e_{1}\right)=F e_{n-1}=e_{n}
\end{aligned}
$$
由
$$
\begin{aligned}
M e_{1} & =\left(a_{n 1} F^{n-1}+a_{n-11} F^{n-2}+\cdots+a_{21} F+a_{11} E\right) e_{1} \\
= & a_{n 1} F^{n-1} e_{1}+a_{n-11} F^{n-2} e_{1}+\cdots+a_{21} F e_{1}+a_{11} E e_{1} \\
= & a_{n 1} e_{n}+a_{n-11} e_{n-1}+\cdots+a_{21} e_{2}+a_{11} e_{1} \\
= & \alpha_{1}=A e_{1}
\end{aligned}
$$
知 $M e_{2}=M F e_{1}=F M e_{1}=F A e_{1}=A F e_{1}=A e_{2}$ ．
$M e_{3}=M F^{2} e_{1}=F^{2} M e_{1}=F^{2} A e_{1}=A F^{2} e_{1}=A e_{3}$
$$
M e_{n}=M F^{n-1} e_{1}=F^{n-1} M e_{1}=F^{n-1} A e_{1}=A F^{n-1} e_{1}=A e_{n}
$$
所以，$M=A$ ．
（2）解：由（1），$C(F)=\operatorname{span}\left\{E, F, F^{2}, \cdots, F^{n-1}\right\}$ ，设 $x_{0} E+x_{1} F+x_{2} F^{2}+\cdots+x_{n-1} F^{n-1}=O$ ，等式两边同右乘 $e_{1}$ ，利用（＊）得
$$
\begin{aligned}
\theta & =O e_{1}=\left(x_{0} E+x_{1} F+x_{2} F^{2}+\cdots+x_{n-1} F^{n-1}\right) e_{1} \\
& =x_{0} E e_{1}+x_{1} F e_{1}+x_{2} F^{2} e_{1}+\cdots+x_{n-1} F^{n-1} e_{1} \\
& =x_{0} e_{1}+x_{1} e_{2}+x_{2} e_{3}+\cdots+x_{n-1} e_{n}
\end{aligned}
$$
因 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \cdots, e_{n}$ 线性无关，故
$$
x_{0}=x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n-1}=0
$$
所以，$E, F, F^{2}, \cdots, F^{n-1}$ 线性无关。
因此，$E, F, F^{2}, \cdots, F^{n-1}$ 是 $C(F)$ 的基，特别地， $\operatorname{dim} C(F)=n$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解矩阵F的结构
矩阵$F$是Frobenius伴随矩阵，其形式为$F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_1 \end{pmatrix}$。记$\beta = (-a_n, -a_{n-1}, \ldots, -a_1)^T$，则$F = (e_2, e_3, \ldots, e_n, \beta)$，其中$e_i$是第$i$个标准单位列向量。
公式：F = (e_2, e_3, \ldots, e_n, \beta)
提示：注意F的列向量顺序：第一列是e_2，第二列是e_3，...，第n-1列是e_n，第n列是β。
步骤 2/7
目标：推导F作用在e_1上的结果
计算$F$作用在$e_1$上：$F e_1 = e_2$，$F^2 e_1 = F e_2 = e_3$，依此类推，$F^{n-1} e_1 = e_n$。这些关系在后续证明中非常关键。
公式：F^k e_1 = e_{k+1}, \quad k=0,1,\ldots,n-1
提示：注意$F^0 e_1 = e_1$，即单位矩阵作用。
步骤 3/7
目标：证明M e_1 = A e_1
设$M = a_{n1} F^{n-1} + a_{n-1,1} F^{n-2} + \cdots + a_{21} F + a_{11} E$。计算$M e_1$：
$$M e_1 = (a_{n1} F^{n-1} + \cdots + a_{11} E) e_1 = a_{n1} e_n + a_{n-1,1} e_{n-1} + \cdots + a_{21} e_2 + a_{11} e_1.$$
而$A e_1 = \alpha_1 = (a_{11}, a_{21}, \ldots, a_{n1})^T$，恰好等于上式。因此$M e_1 = A e_1$。
公式：M e_1 = A e_1
提示：注意A的第一列元素顺序：a_{11}是第一个分量，a_{21}是第二个，...，a_{n1}是第n个。
步骤 4/7
目标：利用交换性证明M e_i = A e_i对所有i成立
由$AF=FA$，对任意$k$有$A F^k = F^k A$。对于$i=2$，$M e_2 = M F e_1 = F M e_1 = F A e_1 = A F e_1 = A e_2$。类似地，对$i=3$，$M e_3 = M F^2 e_1 = F^2 M e_1 = F^2 A e_1 = A F^2 e_1 = A e_3$。依此类推，直到$i=n$，$M e_n = M F^{n-1} e_1 = F^{n-1} M e_1 = F^{n-1} A e_1 = A F^{n-1} e_1 = A e_n$。因此对所有列向量$e_i$，$M e_i = A e_i$，故$M=A$。
公式：M e_i = A e_i, \quad i=1,\ldots,n
提示：关键步骤是利用交换性将M移到F前面，再结合M e_1 = A e_1。
步骤 5/7
目标：确定C(F)的生成集
由(1)的结论，任何与F可交换的矩阵A都可以表示为$F$的多项式：$A = a_{n1} F^{n-1} + \cdots + a_{21} F + a_{11} E$。因此$C(F) = \{X \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid FX=XF\} = \operatorname{span}\{E, F, F^2, \ldots, F^{n-1}\}$。
公式：C(F) = \operatorname{span}\{E, F, F^2, \ldots, F^{n-1}\}
提示：注意(1)中A的系数恰好是A的第一列元素，因此任何与F交换的矩阵都由其第一列唯一确定。
步骤 6/7
目标：证明E, F, F^2, ..., F^{n-1}线性无关
设$x_0 E + x_1 F + \cdots + x_{n-1} F^{n-1} = O$（零矩阵）。两边右乘$e_1$，得：
$$(x_0 E + x_1 F + \cdots + x_{n-1} F^{n-1}) e_1 = x_0 e_1 + x_1 e_2 + \cdots + x_{n-1} e_n = \mathbf{0}.$$
由于$e_1, e_2, \ldots, e_n$线性无关，故$x_0 = x_1 = \cdots = x_{n-1} = 0$。因此$E, F, F^2, \ldots, F^{n-1}$线性无关。
公式：\sum_{k=0}^{n-1} x_k F^k e_1 = \sum_{k=0}^{n-1} x_k e_{k+1} = 0 \Rightarrow x_k = 0
提示：注意$F^k e_1 = e_{k+1}$，其中$k=0$时$F^0=E$。
步骤 7/7
目标：得出C(F)的维数
由于$E, F, F^2, \ldots, F^{n-1}$线性无关且生成$C(F)$，它们构成$C(F)$的一组基。因此$\dim C(F) = n$。
公式：\dim C(F) = n
提示：注意基的个数为n，与矩阵阶数相同。
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