comp_1_数学类_初赛_6
📝 题目
第六题：（15 分）$f(x, y)$ 是 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上二次连续可微函数，满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}
$$
计算积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
💡 答案解析
【参考解析】：令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则
$$
\begin{aligned}
I & =\int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 \pi}\left(\cos \theta \cdot \frac{\partial f}{\partial x}+\sin \theta \cdot \frac{\partial f}{\partial y}\right) r d \theta=\int_{0}^{1} d r \int_{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x} d y-\frac{\partial f}{\partial y} d x\right) \\
& =\int_{0}^{1} d r \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial f}{\partial y^{2}}\right) d x d y=\int_{0}^{1} d r \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}}\left(x^{2} y^{2}\right) d x d y \\
& =\int_{0}^{1} d r \int_{0}^{r} \rho^{5} d \rho \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta d \theta=\frac{\pi}{168}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：极坐标变换
令 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$，则 $dxdy = r dr d\theta$，且 $\sqrt{x^2+y^2}=r$。被积函数中的 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \cos \theta$，$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \sin \theta$。积分区域变为 $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$。于是积分化为：
$$I = \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2\pi} \left( \cos \theta \frac{\partial f}{\partial x} + \sin \theta \frac{\partial f}{\partial y} \right) r d\theta.$$
公式：x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dxdy = r dr d\theta
提示：注意雅可比行列式为r，不要遗漏因子r。
步骤 2/7
目标：将角度积分转化为曲线积分
注意到对于固定的 $r$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 对应圆周 $x^2+y^2=r^2$。在圆周上，有 $dy = -r\sin\theta d\theta$，$dx = r\cos\theta d\theta$，因此 $\cos\theta d\theta = \frac{dy}{r}$，$\sin\theta d\theta = -\frac{dx}{r}$。于是内层积分可写为：
$$\int_{0}^{2\pi} \left( \cos\theta \frac{\partial f}{\partial x} + \sin\theta \frac{\partial f}{\partial y} \right) r d\theta = \int_{x^2+y^2=r^2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} dy - \frac{\partial f}{\partial y} dx \right).$$
公式：\cos\theta d\theta = \frac{dy}{r}, \sin\theta d\theta = -\frac{dx}{r}
提示：注意符号：由 $y=r\sin\theta$ 得 $dy = r\cos\theta d\theta$，所以 $\cos\theta d\theta = dy/r$；由 $x=r\cos\theta$ 得 $dx = -r\sin\theta d\theta$，所以 $\sin\theta d\theta = -dx/r$。
步骤 3/7
目标：应用格林公式将曲线积分转化为二重积分
对于固定的 $r$，曲线积分 $\oint_{x^2+y^2=r^2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} dy - \frac{\partial f}{\partial y} dx \right)$ 可视为向量场 $\mathbf{F} = \left( -\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial x} \right)$ 的环量。由格林公式，它等于 $\iint_{x^2+y^2 \le r^2} \left( \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) - \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial f}{\partial y} \right) \right) dxdy = \iint_{x^2+y^2 \le r^2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) dxdy$。
公式：格林公式：$\oint Pdx+Qdy = \iint (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$
提示：注意格林公式中 $P$ 和 $Q$ 的对应：这里 $P = -\frac{\partial f}{\partial y}$，$Q = \frac{\partial f}{\partial x}$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$。
步骤 4/7
目标：代入已知条件
已知 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = x^2 y^2$，因此内层二重积分为 $\iint_{x^2+y^2 \le r^2} x^2 y^2 dxdy$。于是积分 $I$ 化为：
$$I = \int_{0}^{1} dr \iint_{x^2+y^2 \le r^2} x^2 y^2 dxdy.$$
公式：拉普拉斯方程条件
提示：注意积分区域是半径为r的圆盘，不是整个单位圆盘。
步骤 5/7
目标：计算内层二重积分（极坐标）
对固定的 $r$，在极坐标下计算 $\iint_{x^2+y^2 \le r^2} x^2 y^2 dxdy$。令 $x = \rho \cos\phi$, $y = \rho \sin\phi$，则 $x^2 y^2 = \rho^4 \cos^2\phi \sin^2\phi$，$dxdy = \rho d\rho d\phi$，积分区域 $0 \le \rho \le r$, $0 \le \phi \le 2\pi$。于是：
$$\iint_{x^2+y^2 \le r^2} x^2 y^2 dxdy = \int_{0}^{r} \rho^5 d\rho \int_{0}^{2\pi} \cos^2\phi \sin^2\phi d\phi.$$
公式：极坐标变换
提示：注意 $\rho$ 的幂次：$\rho^4 \cdot \rho = \rho^5$。
步骤 6/7
目标：计算角度积分
计算 $\int_{0}^{2\pi} \cos^2\phi \sin^2\phi d\phi$。利用 $\sin\phi\cos\phi = \frac{1}{2}\sin 2\phi$，则 $\cos^2\phi\sin^2\phi = \frac{1}{4}\sin^2 2\phi = \frac{1}{8}(1-\cos 4\phi)$。于是：
$$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\phi \sin^2\phi d\phi = \frac{1}{8} \int_{0}^{2\pi} (1-\cos 4\phi) d\phi = \frac{1}{8} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{4}.$$
公式：三角恒等式：$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$
提示：注意 $\int_0^{2\pi} \cos 4\phi d\phi = 0$。
步骤 7/7
目标：计算径向积分并整合结果
计算 $\int_{0}^{r} \rho^5 d\rho = \frac{r^6}{6}$。因此内层二重积分等于 $\frac{r^6}{6} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi r^6}{24}$。于是：
$$I = \int_{0}^{1} \frac{\pi r^6}{24} dr = \frac{\pi}{24} \int_{0}^{1} r^6 dr = \frac{\pi}{24} \cdot \frac{1}{7} = \frac{\pi}{168}.$$
公式：幂函数积分
提示：注意积分限：r从0到1。
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