comp_1_数学类_初赛_7
📝 题目
第七题：（15 分）假设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，过点 $A(0, f(0))$ ，与点 $B(1, f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C(c, f(c))$ ，其中 $0
💡 答案解析
【参考解析】：因为 $f(x)$ 在 $[0, c]$ 上满足拉格朗日（Lagranger）中值定理的条件，故存在 $\xi_{1} \in(0, c)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}$ ．由于 $c$ 在弦 $A B$ 上，故有
$$
\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0)
$$
从而 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f(\mathbf{1})-f(\mathbf{0})$ 。
同理可证，存在 $\xi_{2} \in(c, 1)$ ，使 $f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=f(1)-f(0)$ ．由 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ，知 在 $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]$ 上 $f^{\prime}(x)$ 满足罗尔（Rolle）定理的条件，所以存在 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(0,1)$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用拉格朗日中值定理于区间[0,c]
由于 $f(x)$ 在 $[0,c]$ 上连续，在 $(0,c)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理条件，故存在 $\xi_1 \in (0,c)$，使得 $f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(0)}{c-0}$。
公式：拉格朗日中值定理：$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
提示：注意区间端点顺序，分子分母对应。
步骤 2/5
目标：利用点C在直线AB上化简导数
因为点 $C(c,f(c))$ 在过 $A(0,f(0))$ 和 $B(1,f(1))$ 的直线上，所以直线斜率相等：$\frac{f(c)-f(0)}{c-0} = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = f(1)-f(0)$。因此 $f'(\xi_1) = f(1)-f(0)$。
公式：两点间斜率公式：$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
提示：确保C在直线AB上，否则斜率不等。
步骤 3/5
目标：应用拉格朗日中值定理于区间[c,1]
同理，$f(x)$ 在 $[c,1]$ 上连续，在 $(c,1)$ 内可导，存在 $\xi_2 \in (c,1)$，使得 $f'(\xi_2) = \frac{f(1)-f(c)}{1-c}$。又因为C在直线AB上，有 $\frac{f(1)-f(c)}{1-c} = f(1)-f(0)$，所以 $f'(\xi_2) = f(1)-f(0)$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意区间端点对应，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：得到两个导数相等
由前两步，$f'(\xi_1) = f(1)-f(0) = f'(\xi_2)$，所以 $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$。
提示：确保$\xi_1$和$\xi_2$不同，且$\xi_1<\xi_2$。
步骤 5/5
目标：应用罗尔定理于导函数
由于 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内二阶可导，故 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续，在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可导，且 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$，满足罗尔定理条件，因此存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (0,1)$，使得 $f''(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若$g(a)=g(b)$，则存在$\xi$使$g'(\xi)=0$
提示：注意$f''$存在保证$f'$可导。
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