comp_1_数学类_决赛_1
📝 题目
一、填空题（共8分，每空2分）
（1）设 $\beta>\alpha>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x^{2}}-e^{-\beta x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
填空题
（1）$\sqrt{\pi}(\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha})$
（2）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{9}$
（3）$\displaystyle \frac{1}{2}$
（4） 12
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入参数并利用积分公式
考虑含参积分 $I(t) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t x^2}}{x^2} dx$，但该积分发散。因此，我们利用公式 $\int_0^{+\infty} e^{-t x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}$，对参数 $t$ 积分。
公式：$$\int_0^{+\infty} e^{-t x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}$$
提示：注意原积分在 $x=0$ 处有奇点，但分子相减可消除奇点。
步骤 2/5
目标：将原积分转化为累次积分
注意到 $\frac{e^{-\alpha x^2} - e^{-\beta x^2}}{x^2} = \int_{\alpha}^{\beta} e^{-t x^2} dt$，因为对 $t$ 求导得 $-x^2 e^{-t x^2}$，积分后除以 $x^2$ 得原式。因此原积分 $I = \int_0^{+\infty} \left( \int_{\alpha}^{\beta} e^{-t x^2} dt \right) dx$。
公式：$$\frac{e^{-\alpha x^2} - e^{-\beta x^2}}{x^2} = \int_{\alpha}^{\beta} e^{-t x^2} dt$$
提示：验证等式：对 $t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 积分 $e^{-t x^2}$ 得 $\frac{e^{-\alpha x^2} - e^{-\beta x^2}}{x^2}$。
步骤 3/5
目标：交换积分次序
由于被积函数非负且积分区域为 $[0,+\infty) \times [\alpha,\beta]$，由 Fubini 定理可交换积分次序：$I = \int_{\alpha}^{\beta} \left( \int_0^{+\infty} e^{-t x^2} dx \right) dt$。
提示：注意积分区域是矩形，交换次序后先对 $x$ 积分。
步骤 4/5
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_0^{+\infty} e^{-t x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}$，其中 $t>0$。
公式：$$\int_0^{+\infty} e^{-t x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}$$
提示：这是高斯积分公式，注意 $t>0$。
步骤 5/5
目标：计算外层积分
于是 $I = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \int_{\alpha}^{\beta} t^{-1/2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 2(\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\pi}(\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha})$。
公式：$$\int t^{-1/2} dt = 2\sqrt{t}$$
提示：注意积分限 $\alpha$ 和 $\beta$ 的大小关系：$\beta > \alpha > 0$。
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