comp_1_数学类_决赛_2

$\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ （3）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （4） 12 二、【参考解答】：根据题目假设和泰勒公式，有 $$ f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\alpha(x) x $$ 其中 $\alpha(x)$ 是 $x$ 的函数，$\alpha(0)=0$ 且 $\alpha(x) \rightarrow 0(x \rightarrow 0)$ 。因此，对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得 $|x|<\delta$ 时，$|\alpha(x)|<\varepsilon$ 。 对于任意自然数 $n$ 和 $k \leq n$ ，总有 $$ f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)=f^{\prime}(0) \frac{k}{n^{2}}+\alpha\left(\frac{k}{n^{2}}\right) \frac{k}{n^{2}} $$ 取 $N>\delta^{-1}$ ，对上述给定的 $\varepsilon>0$ ，当 $\displaystyle n>N, k \leq n, ~|\alpha| \frac{k}{n^{2}}| |<\varepsilon$ 。于是当 $n>N$ 时， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)-f^{\prime}(0) \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}}\right| \leq \varepsilon \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} $$ 改写该式得当 $n>N$ 时， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)-\frac{1}{2} f^{\prime}(0)\left(1+\frac{1}{n}\right)\right| \leq \frac{\varepsilon}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) $$ 令 $n \rightarrow \infty$ ，对上式取极限即得 $$ \begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty} \sup \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right) \leq \frac{1}{2} f^{\prime}(0)+\frac{\varepsilon}{2} \\ & \lim _{n \rightarrow \infty} \inf \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right) \geq \frac{1}{2} f^{\prime}(0)-\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} $$ 由 $\varepsilon$ 的任意性，即得 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sup \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \inf \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)=\frac{1}{2} f^{\prime}(0) $$