清华大学 2023年强基第1题
📝 题目
已知点 $\mathrm{M}(8,1)$ ，过点 $\mathrm{N}(1,0)$ 的直线 1 上有一个动点 P ，则 $|P N|+2|P M|$ 的最小值为（ ）。
💡 答案解析
【解析】题干没有指出直线 $l$ 具体方程，所以 $|P N|+2|P M| \geq|M N|=5 \sqrt{2}$ ；若方程给定则根据 $M$关于 $l$ 的垂足相应建立方程求解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与问题转化
题目中直线 $l$ 未给出具体方程，因此 $P$ 是直线 $l$ 上的任意点。要求 $|PN|+2|PM|$ 的最小值。由于 $l$ 未定，最小值可能依赖于 $l$ 的选择。但根据答案提示，若 $l$ 未指定，则最小值是 $|MN|=5\sqrt{2}$。实际上，对于任意直线 $l$，$|PN|+2|PM|$ 的最小值不小于 $|MN|$，因为 $|PN|+2|PM| \geq |PN|+|PM| \geq |MN|$，但这里系数2使得不等式方向不同。需要仔细分析。
提示：注意系数2的存在，不能直接使用三角形不等式。
步骤 2/6
目标：利用几何意义或三角不等式
考虑 $|PN|+2|PM| = |PN|+|PM|+|PM|$。由三角形不等式，$|PN|+|PM| \geq |MN|$，但加上 $|PM|$ 后，最小值可能大于 $|MN|$。实际上，我们可以将 $2|PM|$ 视为 $|PM|+|PM|$，但无法直接合并。另一种思路：利用费马点或加权距离和。但题目未给直线，所以可能直接取 $P$ 为 $M$ 在 $l$ 上的投影？不明确。
提示：不要盲目使用三角形不等式，注意系数。
步骤 3/6
目标：考虑特殊直线情况
由于直线 $l$ 未定，我们可以选择一条直线使得 $|PN|+2|PM|$ 尽可能小。例如，若 $l$ 过 $N$ 且垂直于 $MN$，则 $P$ 在 $N$ 处时，$|PN|=0$，$|PM|=|MN|=5\sqrt{2}$，则和为 $10\sqrt{2}$。若 $l$ 过 $M$ 和 $N$，则 $P$ 在线段 $MN$ 上时，$|PN|+2|PM| = |PN|+2(|MN|-|PN|)=2|MN|-|PN|$，当 $|PN|$ 最大时最小，即 $P$ 在 $M$ 处，$|PN|=|MN|$，和为 $|MN|=5\sqrt{2}$。所以最小值可能为 $5\sqrt{2}$。
提示：注意直线 $l$ 可以任意选择，所以最小值是下确界。
步骤 4/6
目标：验证下界
对于任意直线 $l$ 和任意点 $P$ 在 $l$ 上，有 $|PN|+2|PM| \geq |MN|$？不一定，例如 $P$ 在 $N$ 时，$|PN|=0$，$|PM|=|MN|$，和为 $|MN|$，所以 $|MN|$ 是一个可达的下界。实际上，当直线 $l$ 过 $M$ 和 $N$ 时，取 $P=M$，则 $|PN|=|MN|$，$|PM|=0$，和为 $|MN|$。所以最小值是 $|MN|=5\sqrt{2}$。
提示：确认 $P$ 可以在 $M$ 点，因为 $M$ 在直线 $l$ 上。
步骤 5/6
目标：计算距离
已知 $M(8,1)$，$N(1,0)$，则 $|MN| = \sqrt{(8-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
公式：两点距离公式：$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
提示：计算平方和时注意不要漏掉平方。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$|PN|+2|PM|$ 的最小值为 $5\sqrt{2}$。
提示：注意题目中直线 $l$ 未给定，所以最小值是 $5\sqrt{2}$。
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