清华大学 2023年强基第2题
📝 题目
现有 2 面红旗、 2 面黄旗、 2 面蓝旗，除颜色外完全相同。从这些旗子中取出若干面（至少 1 面）从上到下悬挂在同一旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有 种。
💡 答案解析
【解析】记面数 $n$ ，主要思路就是枚举，枚举方式是根据面数及颜色数量的可能分布来分别计算种数。 $n=1$ 时共 3 种。 $n=2$ 时共 $3+A_{3}^{2}=9$ 种。 $n=3$ 时共 $A_{3}^{3}+A_{3}^{2} \cdot 3=24$ 种。 $n=4$ 时共 $C_{3}^{2} \cdot C_{4}^{2}+C_{3}^{1} \cdot 4 \cdot 3=54$ 种。 $n=5$ 时共 $C_{3}^{1} \cdot 5 \cdot C_{4}^{2}=90$ 种。 $n=6$ 时共 $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2}=90$ 。故一共 $3+9+24+54+90+90=300$ 种。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与分类方法
题目要求从6面旗（2红、2黄、2蓝）中取出若干面（至少1面）排成一列，组成信号序列。由于每种颜色有2面，但颜色相同视为相同，因此需要考虑颜色重复的排列。采用按取出旗子面数 $n$ 分类，再对每种面数按颜色分布（即每种颜色出现的次数）分别计算排列数。
提示：注意颜色相同旗子不可区分，排列时需除以重复颜色的阶乘。
步骤 2/7
目标：计算面数 n=1 和 n=2 的情况
当 $n=1$ 时，只有1面旗，颜色可以是红、黄、蓝，共 $3$ 种。
当 $n=2$ 时，有两种情况：
- 两面颜色相同：从3种颜色中选1种，排列数为 $1$（因为两面相同），共 $C_3^1=3$ 种。
- 两面颜色不同：从3种颜色中选2种，排列数为 $2! = 2$，共 $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$ 种。
总计 $3+6=9$ 种。
公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
提示：注意区分排列和组合：颜色不同时顺序重要，用排列；颜色相同时顺序不重要。
步骤 3/7
目标：计算面数 n=3 的情况
当 $n=3$ 时，有三种情况：
- 三种颜色各1面：从3种颜色中选3种，排列数为 $3! = 6$，共 $A_3^3 = 6$ 种。
- 两种颜色，其中一种出现2次，另一种出现1次：先选出现2次的颜色（3种选法），再选出现1次的颜色（剩下2种选法），然后排列：3面旗中有2面相同，排列数为 $\frac{3!}{2!} = 3$，共 $3 \times 2 \times 3 = 18$ 种。
- 一种颜色出现3次：但每种颜色只有2面，不可能，故为0。
总计 $6+18=24$ 种。
公式：重复排列公式：$\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$
提示：注意颜色数量限制：每种颜色最多2面，因此不能出现3面同色。
步骤 4/7
目标：计算面数 n=4 的情况
当 $n=4$ 时，有两种情况：
- 两种颜色各2面：从3种颜色中选2种，排列数为 $\frac{4!}{2!2!} = 6$，共 $C_3^2 \times 6 = 3 \times 6 = 18$ 种。
- 一种颜色2面，另外两种颜色各1面：先选出现2面的颜色（3种选法），再从剩下2种颜色中各选1面（只有1种选法），然后排列：4面旗中有2面相同，排列数为 $\frac{4!}{2!} = 12$，共 $3 \times 1 \times 12 = 36$ 种。
- 一种颜色3面或4面：不可能。
总计 $18+36=54$ 种。
提示：注意第二种情况中，另外两种颜色各1面，但每种颜色只有2面，所以选法唯一。
步骤 5/7
目标：计算面数 n=5 的情况
当 $n=5$ 时，只能是一种颜色2面，另外两种颜色中一种2面一种1面，但总面数5，且每种最多2面，所以分布为：一种颜色2面，另一种颜色2面，第三种颜色1面。
先选出现1面的颜色（3种选法），剩下两种颜色各2面。排列数为 $\frac{5!}{2!2!1!} = 30$，共 $3 \times 30 = 90$ 种。
提示：注意只有这一种分布可能，因为5面旗中必须有一种颜色出现2次，另一种出现2次，第三种出现1次。
步骤 6/7
目标：计算面数 n=6 的情况
当 $n=6$ 时，所有旗子全部取出，每种颜色各2面。排列数为 $\frac{6!}{2!2!2!} = 90$ 种。
提示：直接使用重复排列公式。
步骤 7/7
目标：求和得到总数
将各面数的结果相加：$3 + 9 + 24 + 54 + 90 + 90 = 300$ 种。
提示：检查是否有遗漏或重复。
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