清华大学 2023年强基第3题
📝 题目
的自然数，计算 $a+b$ 的结果告诉甲，计算 $a b$ 的结果告诉乙。甲说：＂虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道。＂乙说：＂本来我不知道，但是听到甲说这句话，现在我知道了。＂甲说：＂现在我也知道了＂。可以推断的是 。
💡 答案解析
【解析】假设甲得到的数为 $c$ ，则第一句话的含义是对每一个 $c=a+b$ ，都存在 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \neq (a, b)$ 使得 $a b=a^{\prime} b^{\prime}$ 。而乙若得到数 $d$ ，则第二句话表明只有一组 $(a, b)$ 使得 $a b=d$ 且 $a+b=c$ 具有前面的性质。而第三句话则说明，对每一组 $c=a+b$ ，只有一组 $a b=d$ 符合上述性质。故从小到大枚举 $c$ 。 对于第一句话知 $c \neq 4,5,6,7,8,9,10,12,14$（分别对应 $2+2,2+3,3+3,2+5,3+5,2+73+7,5+7,3+11$ ）从而先考虑 $c=11=2+9=3+8$ ，可以发现 $d=18,24$ 都有类似的性质，故不满足第三句话。 $c \neq 13,15,16,18$ 对应 $2+11,2+13,3+13,7+11$但计算发现 $c=17$ 时只有 $17=4+13$ 的 $4 \times 13=52$ 有 $d$ 的性质。故此时甲乙都能判断出 $(a, b)=(4,13)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意和甲的第一句话
甲知道两数之和 $c=a+b$，乙知道两数之积 $d=ab$。甲说：“虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道。”这意味着对于甲知道的 $c$，所有可能的 $(a,b)$ 对（满足 $a+b=c$）对应的乘积 $ab$ 都不唯一，即每个乘积至少对应两对不同的 $(a,b)$。因此，$c$ 不能是那些存在一对 $(a,b)$ 使得乘积唯一的情况。
公式：c = a+b, d = ab
提示：注意甲的第一句话排除了那些使得乙可能直接知道答案的和数。
步骤 2/6
目标：根据第一句话排除和数
枚举所有可能的和 $c$（$2 \leq c \leq 99$），检查是否存在一对 $(a,b)$ 使得乘积 $ab$ 唯一分解（即只有一种加法分解）。若存在，则 $c$ 被排除。例如：$c=4$ 对应 $(2,2)$，乘积 $4$ 唯一；$c=5$ 对应 $(2,3)$，乘积 $6$ 唯一；类似地，$c=6,7,8,9,10,12,14$ 也被排除。因此，可能的 $c$ 为 $11,13,15,16,17,18$ 等。
公式：排除条件：存在 $(a,b)$ 使 $ab$ 唯一分解
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是大于1的自然数，且 $a \leq b$。
步骤 3/6
目标：分析乙的第二句话
乙说：“本来我不知道，但是听到甲说这句话，现在我知道了。”这意味着乙知道乘积 $d$，在听到甲的话后，乙能唯一确定 $(a,b)$。即对于乙知道的 $d$，在所有可能的加法分解中，只有一对 $(a,b)$ 的和 $c$ 属于第一句话后可能的和数集合。
公式：乙能确定的条件：$d$ 的分解中只有一对的和在可能的 $c$ 中
提示：乙利用甲的话缩小了范围。
步骤 4/6
目标：分析甲的第三句话
甲说：“现在我也知道了。”这意味着对于甲知道的 $c$，在所有可能的 $(a,b)$ 对中，只有一对的乘积 $d$ 满足乙能确定的条件。即 $c$ 对应的所有乘积中，只有一个乘积使得乙能唯一确定。
公式：甲能确定的条件：$c$ 的分解中只有一个乘积满足乙的条件
提示：最终需要找到满足所有条件的 $c$ 和对应的 $(a,b)$。
步骤 5/6
目标：枚举可能的和数并验证
从可能的和数 $c$ 中（如 $11,13,15,16,17,18$ 等）逐一验证。例如 $c=11$：分解为 $(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$，乘积分别为 $18,24,28,30$。检查每个乘积是否满足乙的条件：$18=2\times9=3\times6$，但 $(3,6)$ 的和 $9$ 已被排除，所以 $18$ 只有 $(2,9)$ 的和 $11$ 在可能集合中，因此乙能确定；类似地 $24=3\times8=4\times6$，$(4,6)$ 的和 $10$ 被排除，所以 $24$ 也只有 $(3,8)$ 的和 $11$ 在可能集合中，乙也能确定。这样 $c=11$ 对应两个乘积都满足乙的条件，甲无法唯一确定，故排除。类似地检验其他和数。
公式：枚举验证
提示：注意每个乘积的分解要全面。
步骤 6/6
目标：找到唯一满足条件的和数
经过枚举，发现 $c=17$ 时：分解为 $(2,15),(3,14),(4,13),(5,12),(6,11),(7,10),(8,9)$，乘积分别为 $30,42,52,60,66,70,72$。检查每个乘积：例如 $52=4\times13=2\times26$，但 $(2,26)$ 的和 $28$ 不在可能集合中，所以 $52$ 只有 $(4,13)$ 的和 $17$ 在可能集合中，乙能确定；而其他乘积如 $30=2\times15=3\times10=5\times6$，其中 $(3,10)$ 的和 $13$ 和 $(5,6)$ 的和 $11$ 都在可能集合中，因此乙不能唯一确定。所以 $c=17$ 只有一个乘积 $52$ 满足乙的条件，甲因此能确定。故 $(a,b)=(4,13)$。
公式：c=17, d=52, (a,b)=(4,13)
提示：注意检查所有分解。
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