清华大学 2023年强基第5题
📝 题目
袋子里有 11 个黑球 9 个红球，每次拿一个，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率。
💡 答案解析
【解析】考虑全部拿走的 20 个球顺序：这等价于 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{12}=9$ ，其中 $x_{i}$ 表示第 $i-1$ 个和第 $i$ 个黑球间取走的红球个数。而最后只剩下红球等价于 $x_{12}\gt 0$ 。从而总的可能顺序数为 $\left(x_{1}+1\right)+\left(x_{2}+1\right)+\cdots+\left(x_{12}+1\right)=21$ 的正整数解组数 $C_{20}^{11}$ 。而满足条件的顺序数为 $\left(x_{1}+1\right)+\cdots+\left(x_{11}+1\right)+x_{12}=20$ 的正整数解组数 $C_{19}^{11}$ 。故概率为 $\displaystyle P=\frac{C_{19}^{11}}{C_{20}^{11}}=\frac{9}{20}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并建立模型
袋中有11个黑球和9个红球，每次随机取一个球，不放回，直到袋中剩下的球全是一种颜色时停止。求最后只剩下红球的概率。考虑所有20个球的取球顺序，将问题转化为排列组合问题。
提示：注意停止条件：当剩下全为红球或全为黑球时结束。
步骤 2/5
目标：将问题转化为排列组合模型
将20个球按取出的顺序排列，黑球视为分隔符。设$x_i$表示第$i-1$个黑球和第$i$个黑球之间取出的红球个数，其中$i=1,2,\dots,12$，并定义第0个黑球为起始，第12个黑球为结束。则$x_1+x_2+\dots+x_{12}=9$，且$x_i\geq 0$。
公式：$x_1+x_2+\dots+x_{12}=9$
提示：黑球有11个，将序列分成12段，每段红球数非负。
步骤 3/5
目标：计算总可能顺序数
令$y_i=x_i+1$，则$y_i\geq 1$，且$y_1+y_2+\dots+y_{12}=9+12=21$。正整数解的个数为$\binom{21-1}{12-1}=\binom{20}{11}$。
公式：$\binom{20}{11}$
提示：使用隔板法：将21个球分成12组，每组至少1个。
步骤 4/5
目标：计算最后只剩下红球的条件
最后只剩下红球等价于最后一个黑球之后还有红球，即$x_{12}>0$。此时$x_{12}\geq 1$，而$x_1,\dots,x_{11}\geq 0$。令$z_i=x_i+1$（$i=1,\dots,11$），$z_{12}=x_{12}$，则$z_i\geq 1$（$i=1,\dots,11$），$z_{12}\geq 1$，且$z_1+\dots+z_{11}+z_{12}=9+11=20$。正整数解的个数为$\binom{20-1}{12-1}=\binom{19}{11}$。
公式：$\binom{19}{11}$
提示：注意$x_{12}>0$转化为$z_{12}\geq 1$。
步骤 5/5
目标：计算概率
概率为满足条件的顺序数除以总顺序数：$P=\frac{\binom{19}{11}}{\binom{20}{11}}=\frac{19!}{11!8!}\cdot\frac{11!9!}{20!}=\frac{9}{20}$。
公式：$P=\frac{\binom{19}{11}}{\binom{20}{11}}=\frac{9}{20}$
提示：化简组合数时注意约分。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。