清华大学 2023年强基第6题
📝 题目
三个复数的模分别为 $1,5,5 \sqrt{2}$ ，且这三个复数的实部虚部均为整数，则三个复数的乘积可能有 个值。
💡 答案解析
【解析】这三个复数的全部可能值分别为 $\pm 1, \pm i, \pm 5 i, \pm 3 \pm 4 i, \pm 4 \pm 3 i$ ， $\pm 5 \pm 5 i, \pm 1 \pm 7 i, \pm 7 \pm i$ ，因此前两个复数乘积的可能为 $\pm 5, \pm 5 i, \pm 3 \pm 4 i, \pm 4 \pm 3 i$ ，从而三个复数乘积可能为 $\pm 25 \pm 25 i, \pm 5 \pm 35 i, \pm 35 \pm 5 i, \pm 31 \pm 17 i, \pm 17 \pm 31 i$ 共 20 个值。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定模为1的复数可能值
设复数 $z_1$ 满足 $|z_1|=1$，且实部、虚部均为整数。设 $z_1=a+bi$，$a,b\in\mathbb{Z}$，则 $a^2+b^2=1$。整数解为 $(a,b)=(\pm1,0)$ 或 $(0,\pm1)$，即 $z_1=\pm1,\pm i$。
公式：$a^2+b^2=1$
提示：注意整数解只有这四种，不要遗漏负号。
步骤 2/6
目标：确定模为5的复数可能值
设 $z_2$ 满足 $|z_2|=5$，实部、虚部均为整数。设 $z_2=c+di$，$c,d\in\mathbb{Z}$，则 $c^2+d^2=25$。整数解有：$(c,d)=(\pm5,0),(0,\pm5),(\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3)$。即 $z_2=\pm5,\pm5i,\pm3\pm4i,\pm4\pm3i$。
公式：$c^2+d^2=25$
提示：注意符号组合：每个非零坐标有正负两种可能，共12个复数。
步骤 3/6
目标：确定模为$5\sqrt{2}$的复数可能值
设 $z_3$ 满足 $|z_3|=5\sqrt{2}$，实部、虚部均为整数。设 $z_3=e+fi$，$e,f\in\mathbb{Z}$，则 $e^2+f^2=50$。整数解有：$(e,f)=(\pm5,\pm5),(\pm1,\pm7),(\pm7,\pm1)$。即 $z_3=\pm5\pm5i,\pm1\pm7i,\pm7\pm i$。
公式：$e^2+f^2=50$
提示：注意$5^2+5^2=50$，$1^2+7^2=50$，$7^2+1^2=50$，每个组合有4种符号情况，共12个复数。
步骤 4/6
目标：计算前两个复数的所有可能乘积
将模为1的复数集合 $A=\{\pm1,\pm i\}$ 与模为5的复数集合 $B=\{\pm5,\pm5i,\pm3\pm4i,\pm4\pm3i\}$ 两两相乘。由于乘法满足交换律且 $A$ 中元素为旋转因子，乘积结果集合为 $\{\pm5,\pm5i,\pm3\pm4i,\pm4\pm3i\}$。例如：$1\cdot(3+4i)=3+4i$，$i\cdot(3+4i)=-4+3i$ 等，符号变化后仍属于该集合。
公式：无
提示：注意 $A$ 中元素乘以 $B$ 中元素仅改变符号或交换实虚部，不会产生新类型。
步骤 5/6
目标：计算三个复数的所有可能乘积
将上一步得到的集合 $C=\{\pm5,\pm5i,\pm3\pm4i,\pm4\pm3i\}$ 与模为 $5\sqrt{2}$ 的集合 $D=\{\pm5\pm5i,\pm1\pm7i,\pm7\pm i\}$ 两两相乘。计算所有组合并化简，得到以下20个不同的乘积：
$\pm25\pm25i$（4个），$\pm5\pm35i$（4个），$\pm35\pm5i$（4个），$\pm31\pm17i$（4个），$\pm17\pm31i$（4个）。
公式：复数乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
提示：注意每个乘积的实部和虚部绝对值可能相同但符号不同，需逐一计算避免遗漏。
步骤 6/6
目标：统计不同乘积的个数
上一步得到的五类乘积中，每类有4个不同的复数（正负号组合），共 $5\times4=20$ 个。因此三个复数的乘积可能有20个不同的值。
公式：无
提示：注意检查是否有重复值，例如 $25+25i$ 与 $25+25i$ 只算一个，但符号不同视为不同复数。
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