清华大学 2023年强基第7题
📝 题目
数列 $\mathrm{a}_{n}$ 满足 $\displaystyle \mathrm{a}_{1}=\frac{3}{2}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=x^{\mathrm{a}_{n}}$ ，求使该数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 有极限的 x 的最大值 。
💡 答案解析
【解析】若有极限记为 $A$ ，则根据递推公式两边取极限得 $A=x^{A}$ ，为了说话方便起见我们换字母代号，即函数 $y=a^{x}$ 与 $y=x$ 需要有交点。而注意到 $f(x)=a^{x}-x \Rightarrow f^{\prime}(x)=a^{x} \ln a-1$ 。因为考虑 $a$ 最大值，可不妨设 $a\gt 1$ ，则 $f(x)_{\text {min }}=f\left(x_{0}\right)$ ，其中 $a^{x_{0}} \ln a=1$ ，所以最大值就是 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0=\frac{1}{\ln a}-\log _{a} \frac{1}{\ln a} \Rightarrow \ln \ln a+1=0 \Rightarrow a=e^{\frac{1}{e}}$ 。 而若 $\displaystyle x=e^{\frac{1}{e}}$ ，容易递归证明 $\left\{a_{n}\right\}$ 严格递增且有上界 $e$ ，因此该数列有极限。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设极限存在并建立方程
设数列极限为 $A$，则对递推公式 $a_{n+1}=x^{a_n}$ 两边取极限，得 $A = x^A$。因此极限 $A$ 满足方程 $A = x^A$，即 $x = A^{1/A}$。
公式：$A = x^A$
提示：注意极限存在是前提，后续需验证。
步骤 2/6
目标：转化为函数交点问题
方程 $A = x^A$ 等价于函数 $y = x^a$ 与 $y = a$ 有交点（这里 $a$ 即 $A$）。为求 $x$ 的最大值，考虑 $x>1$ 的情况（因为 $x\le1$ 时极限易得且较小）。定义函数 $f(a)=x^a - a$，则需 $f(a)=0$ 有解。
公式：$f(a)=x^a - a$
提示：注意 $x>1$ 时函数 $x^a$ 增长快，需分析极值。
步骤 3/6
目标：求函数最小值并令其为零
对 $f(a)$ 求导：$f'(a)=x^a \ln x - 1$。令 $f'(a)=0$ 得 $x^{a_0} \ln x = 1$，即 $a_0 = \log_x(1/\ln x)$。此时 $f(a)$ 取最小值 $f(a_0)=x^{a_0} - a_0 = \frac{1}{\ln x} - \log_x\frac{1}{\ln x}$。为使方程 $f(a)=0$ 有解，需最小值 $f(a_0)=0$。
公式：$f(a_0)=\frac{1}{\ln x} - \log_x\frac{1}{\ln x}=0$
提示：注意 $a_0$ 是唯一极小值点。
步骤 4/6
目标：求解 $x$ 的最大值
由 $f(a_0)=0$ 得 $\frac{1}{\ln x} = \log_x\frac{1}{\ln x}$。两边取自然对数：$\ln\frac{1}{\ln x} = \frac{1}{\ln x} \ln\frac{1}{\ln x}$，整理得 $\ln\ln x + 1 = 0$，即 $\ln\ln x = -1$，故 $\ln x = e^{-1}$，$x = e^{1/e}$。
公式：$\ln\ln x + 1 = 0$
提示：注意对数运算的准确性。
步骤 5/6
目标：验证极限存在性
当 $x = e^{1/e}$ 时，需验证数列 $\{a_n\}$ 有极限。首先 $a_1 = 3/2$，易证 $a_n$ 严格递增且有上界 $e$。例如，用数学归纳法：假设 $a_n < e$，则 $a_{n+1}=x^{a_n} < x^e = e$，且 $a_{n+1} > a_n$ 可由 $x^{a_n} > a_n$ 推出（利用 $f(a_n)>0$ 除极值点外）。因此数列单调有界，极限存在。
提示：需证明单调性和有界性，注意 $x=e^{1/e}$ 时 $f(a)\ge0$。
步骤 6/6
目标：得出最大值
综上，使数列有极限的 $x$ 的最大值为 $e^{1/e}$。
公式：$x_{\max}=e^{1/e}$
提示：注意 $x$ 的最大值对应极限存在的临界情况。
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