清华大学 2023年强基第8题
📝 题目
$\displaystyle \frac{4}{\mathrm{x}+1}+\frac{9}{\mathrm{x}+2}+\frac{16}{\mathrm{x}+3}=(4 x+5)(2-x)$ 有几个正实数解？
💡 答案解析
【解析】因为只考虑正实数解，左端是正的从而只需考虑 $x \in(0,2)$ ，观察知 $x=1$ 是一个根。但此时左右两端的导数分别为 -3 和 -5 ，再结合倒数函数的增长特性和二次函数的顶点位置可知一共两个正实数根。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析方程定义域和正实数解范围
方程左端分母为 $x+1$, $x+2$, $x+3$，要求 $x \neq -1, -2, -3$。考虑正实数解，左端各项均为正，故左端为正，因此右端 $(4x+5)(2-x)$ 也必须为正。解 $(4x+5)(2-x)>0$ 得 $-\frac{5}{4}0$，得 $0
公式：(4x+5)(2-x)>0
提示：注意定义域和不等式求解
步骤 2/5
目标：观察特殊解
在区间 $(0,2)$ 内，尝试 $x=1$：左端 $\frac{4}{2}+\frac{9}{3}+\frac{16}{4}=2+3+4=9$，右端 $(4+5)(2-1)=9$，故 $x=1$ 是一个根。
公式：\frac{4}{1+1}+\frac{9}{1+2}+\frac{16}{1+3}=9
提示：代入验证
步骤 3/5
目标：分析函数单调性
令 $f(x)=\frac{4}{x+1}+\frac{9}{x+2}+\frac{16}{x+3}$，$g(x)=(4x+5)(2-x)$。$f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减（因为每个分式函数 $\frac{a}{x+b}$ 在 $x>-b$ 时递减），$g(x)$ 是开口向下的二次函数，在 $x=\frac{3}{8}$ 处取得最大值，在 $(0,2)$ 上先增后减。
公式：f'(x)=-\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{9}{(x+2)^2}-\frac{16}{(x+3)^2}<0
提示：导数判断单调性
步骤 4/5
目标：比较端点值和导数
计算 $f(0)=4+\frac{9}{2}+\frac{16}{3}=4+4.5+5.333...=13.833...$，$g(0)=5\times2=10$，故 $f(0)>g(0)$。$f(2)=\frac{4}{3}+\frac{9}{4}+\frac{16}{5}\approx1.333+2.25+3.2=6.783$，$g(2)=13\times0=0$，故 $f(2)>g(2)$。在 $x=1$ 处，$f(1)=g(1)=9$，且 $f'(1)=-\frac{4}{4}-\frac{9}{9}-\frac{16}{16}=-1-1-1=-3$，$g'(x)=4(2-x)-(4x+5)=8-4x-4x-5=3-8x$，$g'(1)=3-8=-5$，故 $f'(1)>g'(1)$（即 $f$ 下降慢于 $g$）。
公式：f(0)=13.833, g(0)=10; f(2)=6.783, g(2)=0; f'(1)=-3, g'(1)=-5
提示：比较函数值和导数
步骤 5/5
目标：确定根的个数
由于 $f(0)>g(0)$，$f(1)=g(1)$，且 $f'(1)>g'(1)$，在 $x=1$ 左侧 $f$ 下降慢于 $g$，故在 $(0,1)$ 内 $f(x)>g(x)$ 恒成立，无交点。在 $(1,2)$ 内，$f$ 继续下降，$g$ 下降更快（因为 $g'$ 更负），且 $f(2)>g(2)$，故存在唯一 $x_0\in(1,2)$ 使得 $f(x_0)=g(x_0)$。因此共有两个正实数根：$x=1$ 和 $x=x_0$。
公式：f(1)=g(1), f(2)>g(2), f'(1)>g'(1)
提示：结合单调性和端点值分析
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