清华大学 2023年强基第9题
📝 题目
正整数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 满足： $\mathrm{ax}=b+c, \mathrm{by}=c+a, \mathrm{cz}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$ ，则 xyz 的可能值有 个。 A． 0 个 B． 3 个 C． 4 个 D．无穷多个
💡 答案解析
【解析】不妨设 $c=\max \{a, b, c\}$ ，则 $c z=a+b \leq 2 c \Rightarrow z \leq 2$ 。当 $z=2$ 时 $a=b=c$ ，从而 $x y z=8$ 。当 $z=1$ 时，$c=a+b$ 。不妨 $a \leq b$ ，则 $b(y-1)=2 a \leq 2 b \Rightarrow 1\lt y \leq 3$ 。当 $y=3$ 时，$a=b$ 从而 $x=3 \Rightarrow x y z=9$ 。当 $y=2$ 时，$b=2 a, c=3 a \Rightarrow x=5$ ，从而 $x y z=10$ 。故一共 3 个可能值。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入对称性假设
由于 $a,b,c$ 在条件中对称，不妨设 $c = \max\{a,b,c\}$。这样我们可以利用最大值来限制变量范围。
提示：对称性假设是简化问题的常用技巧，但需注意假设后结论是否覆盖所有情况。
步骤 2/8
目标：推导 $z$ 的取值范围
由 $cz = a+b$ 且 $c$ 最大，得 $a+b \leq 2c$，所以 $cz \leq 2c$，即 $z \leq 2$。又 $z$ 为正整数，故 $z=1$ 或 $2$。
公式：$cz = a+b \leq 2c \Rightarrow z \leq 2$
提示：注意 $c$ 为正整数，不等式两边除以 $c$ 时方向不变。
步骤 3/8
目标：情况1：$z=2$
若 $z=2$，则 $2c = a+b$。又 $c$ 最大，故 $a+b \leq 2c$ 取等，所以 $a=b=c$。代入原方程：$ax = b+c = 2a \Rightarrow x=2$，同理 $y=2$。因此 $xyz = 2 \times 2 \times 2 = 8$。
公式：$a=b=c \Rightarrow x=y=z=2$
提示：注意 $a=b=c$ 时 $x,y,z$ 均等于2，不要漏算。
步骤 4/8
目标：情况2：$z=1$
若 $z=1$，则 $c = a+b$。此时 $c$ 最大，且 $a,b$ 为正整数。不妨再设 $a \leq b$。
公式：$c = a+b$
提示：再次使用对称性假设 $a \leq b$，但注意 $a,b$ 不一定相等。
步骤 5/8
目标：推导 $y$ 的取值范围
由 $by = c+a = (a+b)+a = 2a+b$，得 $b(y-1) = 2a$。因为 $a \leq b$，所以 $2a \leq 2b$，即 $b(y-1) \leq 2b \Rightarrow y-1 \leq 2 \Rightarrow y \leq 3$。又 $y$ 为正整数且 $y>1$（否则 $b=2a$ 但 $y=1$ 时 $b=2a$ 不成立？实际上 $y=1$ 时 $b(y-1)=0$，则 $2a=0$ 矛盾），故 $y=2$ 或 $3$。
公式：$b(y-1)=2a$，$a \leq b \Rightarrow y \leq 3$
提示：注意 $y$ 不能为1，因为 $a>0$。
步骤 6/8
目标：子情况2.1：$y=3$
若 $y=3$，则 $b(3-1)=2b=2a \Rightarrow a=b$。于是 $c=a+b=2a$。代入 $ax = b+c = a+2a=3a \Rightarrow x=3$。所以 $xyz = 3 \times 3 \times 1 = 9$。
公式：$a=b \Rightarrow x=3$
提示：注意 $z=1$ 已固定。
步骤 7/8
目标：子情况2.2：$y=2$
若 $y=2$，则 $b(2-1)=b=2a \Rightarrow b=2a$。于是 $c=a+b=3a$。代入 $ax = b+c = 2a+3a=5a \Rightarrow x=5$。所以 $xyz = 5 \times 2 \times 1 = 10$。
公式：$b=2a \Rightarrow x=5$
提示：注意 $a,b,c$ 为正整数，可取 $a=1$ 等。
步骤 8/8
目标：总结可能值
综上，$xyz$ 的可能值为 $8,9,10$，共3个。
提示：检查是否遗漏其他情况，如 $a>b$ 的对称性已由假设覆盖。
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