清华大学 2023年强基第11题
📝 题目
已知 $M$ 为 $(3,0), N(1,0), l$ 过 $N$ 且 $k$ 为 $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}, P$ 为 $l$ 上一点，求 $2|P M|+|P N|$ 最值。
💡 答案解析
【解析】注意到 $\angle P N M=30^{\circ}$（ $P$ 在 $x$ 轴上方过程类似）记 $\angle N P M=t$ ，则由正弦定理 $\displaystyle \frac{2}{\sin t}=\frac{N M}{\sin t}=\frac{P M}{\sin \frac{\pi}{6}}=\frac{P N}{\sin \left(t+\frac{\pi}{6}\right)}$ ，所以 $\displaystyle 2|P M|+|P N|=\sqrt{3}+\frac{\cos t+2}{\sin t}$ ，为了使用万能公式记 $\displaystyle a=\tan \frac{t}{2}\gt 0, \frac{\cos t+2}{\sin t}=\frac{a^{2}+3}{2 a} \geq \frac{2 \sqrt{3} a}{2 a}=\sqrt{3}$ ，故最小值为 $2 \sqrt{3}$ ，取等条件为 $\displaystyle t=\frac{2 \pi}{3}$ ，此时 $\displaystyle |P N|=|P M|=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定几何关系
已知 $M(3,0)$, $N(1,0)$，直线 $l$ 过 $N$ 且斜率 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $l$ 的倾斜角为 $150^\circ$，与 $x$ 轴正方向夹角为 $150^\circ$，故 $\angle PNM = 30^\circ$（$P$ 在 $x$ 轴上方时）。
公式：$k = \tan \theta$
提示：注意斜率与倾斜角的关系，以及 $P$ 可能在 $x$ 轴上方或下方，但对称性可只考虑上方。
步骤 2/5
目标：引入变量并利用正弦定理
设 $\angle NPM = t$，在 $\triangle PMN$ 中，$MN = 2$，$\angle PNM = 30^\circ$，由正弦定理：$\frac{MN}{\sin t} = \frac{PM}{\sin 30^\circ} = \frac{PN}{\sin(t+30^\circ)}$，即 $\frac{2}{\sin t} = \frac{PM}{1/2} = \frac{PN}{\sin(t+30^\circ)}$，解得 $PM = \frac{1}{\sin t}$，$PN = \frac{2\sin(t+30^\circ)}{\sin t}$。
公式：正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
提示：注意三角形内角和为 $180^\circ$，$\angle PMN = 150^\circ - t$。
步骤 3/5
目标：表达目标函数
目标 $2PM + PN = \frac{2}{\sin t} + \frac{2\sin(t+30^\circ)}{\sin t} = \frac{2[1+\sin(t+30^\circ)]}{\sin t}$。利用三角恒等变换：$\sin(t+30^\circ) = \sin t \cos 30^\circ + \cos t \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t$，代入得 $2PM+PN = \frac{2+\sqrt{3}\sin t + \cos t}{\sin t} = \sqrt{3} + \frac{2+\cos t}{\sin t}$。
公式：$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
提示：化简时注意合并常数项。
步骤 4/5
目标：利用万能公式求最值
令 $a = \tan\frac{t}{2} > 0$，则 $\sin t = \frac{2a}{1+a^2}$，$\cos t = \frac{1-a^2}{1+a^2}$，代入 $\frac{2+\cos t}{\sin t} = \frac{2+\frac{1-a^2}{1+a^2}}{\frac{2a}{1+a^2}} = \frac{2(1+a^2)+1-a^2}{2a} = \frac{a^2+3}{2a}$。由均值不等式，$\frac{a^2+3}{2a} \ge \frac{2\sqrt{3}a}{2a} = \sqrt{3}$，当且仅当 $a^2=3$ 即 $a=\sqrt{3}$ 时取等。此时 $\tan\frac{t}{2}=\sqrt{3}$，$\frac{t}{2}=60^\circ$，$t=120^\circ$。最小值为 $\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
公式：万能公式：$\sin t = \frac{2\tan(t/2)}{1+\tan^2(t/2)}$，$\cos t = \frac{1-\tan^2(t/2)}{1+\tan^2(t/2)}$；均值不等式：$\frac{a^2+3}{2a} \ge \sqrt{3}$
提示：注意 $a>0$，均值不等式取等条件为 $a^2=3$。
步骤 5/5
目标：验证取等条件并给出结论
当 $t=120^\circ$ 时，$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$PM = \frac{1}{\sin t} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，$PN = \frac{2\sin(t+30^\circ)}{\sin t} = \frac{2\sin150^\circ}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\cdot 1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，满足 $2PM+PN=2\sqrt{3}$。因此最小值为 $2\sqrt{3}$，无最大值（$t\to 0^+$ 时 $\sin t \to 0$，表达式趋于无穷大）。
公式：无
提示：注意检查 $t$ 的取值范围，$t$ 为三角形内角，$0
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