清华大学 2022年强基第1题
📝 题目
$x \&(y \& z)=x \& y+z, x \& x=0$ ，求 2000\＆2022 。 A． 20 B． 22 C．-20 D．-22
💡 答案解析
B【解析】令 $y=z$ ．得 $x \& 0=x \& z+z$ 令 $x=z$ 得 $z \& 0=z$ 即 $x \& 0=x$ 。 代入得 $x=x \& z+z \therefore x \& z=x-z$ ． $2000 \& 2022=2000-2022=-22$ 选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解运算定义
题目定义了一个二元运算 $\&$，满足两个条件：
1. $x \& (y \& z) = x \& y + z$
2. $x \& x = 0$
我们需要求 $2000 \& 2022$ 的值。
提示：注意运算符号不是按位与，而是一个自定义运算。
步骤 2/6
目标：令 $y=z$ 代入第一个条件
在条件 $x \& (y \& z) = x \& y + z$ 中，令 $y = z$，得到：
$$x \& (y \& y) = x \& y + y$$
由 $x \& x = 0$ 知 $y \& y = 0$，所以：
$$x \& 0 = x \& y + y$$
公式：$x \& 0 = x \& y + y$
提示：注意 $y \& y = 0$ 的应用。
步骤 3/6
目标：令 $x=z$ 代入上式
在 $x \& 0 = x \& y + y$ 中，令 $x = y$，得到：
$$y \& 0 = y \& y + y = 0 + y = y$$
即对于任意 $x$，有 $x \& 0 = x$。
公式：$x \& 0 = x$
提示：注意变量替换的一致性。
步骤 4/6
目标：推导 $x \& y$ 的表达式
将 $x \& 0 = x$ 代入 $x \& 0 = x \& y + y$，得：
$$x = x \& y + y$$
移项得：
$$x \& y = x - y$$
公式：$x \& y = x - y$
提示：注意移项时符号变化。
步骤 5/6
目标：计算 $2000 \& 2022$
利用公式 $x \& y = x - y$，代入 $x=2000$，$y=2022$：
$$2000 \& 2022 = 2000 - 2022 = -22$$
公式：$2000 \& 2022 = 2000 - 2022 = -22$
提示：注意运算顺序和符号。
步骤 6/6
目标：选择答案
计算结果为 $-22$，对应选项 D。
提示：注意选项 D 是 -22。
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