清华大学 2022年强基第3题
📝 题目
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$ ，求 $\left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$ 的最大值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设复数并利用模长条件
设 $z = \cos\theta + i\sin\theta$，因为 $|z|=1$，所以 $z$ 在单位圆上。
公式：$z = e^{i\theta}$
提示：利用三角形式简化模长运算。
步骤 2/7
目标：将表达式转化为模长平方
求 $|(z-2)(z+1)^2|$ 的最大值等价于求 $|z-2|^2 |z+1|^4$ 的最大值，因为模长非负。
公式：$|ab| = |a||b|$
提示：平方后避免根号，便于计算。
步骤 3/7
目标：计算 $|z-2|^2$
$|z-2|^2 = (z-2)(\bar{z}-2) = |z|^2 - 2(z+\bar{z}) + 4 = 1 - 4\cos\theta + 4 = 5 - 4\cos\theta$。
公式：$|z|^2 = z\bar{z}$
提示：利用 $z+\bar{z}=2\cos\theta$。
步骤 4/7
目标：计算 $|z+1|^2$
$|z+1|^2 = (z+1)(\bar{z}+1) = |z|^2 + (z+\bar{z}) + 1 = 1 + 2\cos\theta + 1 = 2 + 2\cos\theta$。
公式：$|z+1|^2 = 2+2\cos\theta$
提示：注意 $z+\bar{z}=2\cos\theta$。
步骤 5/7
目标：构造目标函数
设 $f(\theta) = |z-2|^2 |z+1|^4 = (5-4\cos\theta)(2+2\cos\theta)^2$。令 $t = \cos\theta \in [-1,1]$，则 $f(t) = (5-4t)(2+2t)^2$。
公式：$f(t) = (5-4t)(2+2t)^2$
提示：换元简化函数形式。
步骤 6/7
目标：求函数最大值
展开 $f(t) = (5-4t)(4+8t+4t^2) = 4(5-4t)(1+2t+t^2) = 4(5-4t)(t+1)^2$。求导：$f'(t) = 4[ -4(t+1)^2 + 2(5-4t)(t+1) ] = 4(t+1)[ -4(t+1) + 2(5-4t) ] = 4(t+1)(-4t-4+10-8t) = 4(t+1)(6-12t) = 24(t+1)(1-2t)$。令 $f'(t)=0$ 得 $t=-1$ 或 $t=1/2$。计算 $f(-1)=0$，$f(1/2)= (5-2)(2+1)^2 = 3 \times 9 = 27$。端点 $t=1$ 时 $f(1)= (5-4)(2+2)^2 = 1 \times 16 = 16$。所以最大值为 $27$，故原式最大值为 $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
公式：$f'(t)=24(t+1)(1-2t)$
提示：注意 $t=-1$ 时 $f=0$，$t=1/2$ 时取得最大值。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此 $\left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$ 的最大值为 $3\sqrt{3}$。
公式：$\max = 3\sqrt{3}$
提示：检查单位圆上对应点是否可达。
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