清华大学 2022年强基第4题
📝 题目
在复平面内，复数 $z_{1}$ 终点在 $1+i$ 和 $1+a i$ 表示两点连成的线段上移动，$\left|z_{2}\right|=1$ ，若 $z=z_{1}+z_{2}$ 在复平面上表示的点围成的面积为 $\pi+4$ ，则 a 的可能值为 。
💡 答案解析
【解析】 $z=z_{1}+z_{2}$ 在复平面上表示的点围成的图形如图所示， $\mathrm{B}(1,1), \mathrm{A}(1, \mathrm{a})$ ，围成的面积即为阴影部分的长方形的面积和上下两个半圆的面积。 因此 $\pi+4=\pi+2|a-1|$ $a=3$ 或 -1 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与几何意义
已知 $z_1$ 在复平面上对应线段 $AB$，其中 $A(1,1)$，$B(1,a)$，即 $z_1$ 的实部恒为1，虚部在 $1$ 和 $a$ 之间变化。$z_2$ 满足 $|z_2|=1$，即 $z_2$ 在单位圆上。$z=z_1+z_2$ 表示将 $z_1$ 的每个点加上单位圆上的所有点，因此 $z$ 的轨迹是线段 $AB$ 沿单位圆平移得到的区域，即一个“跑道形”：中间是矩形，两端是半圆。
提示：注意 $z_1$ 的实部固定为1，所以平移后矩形中心在实轴1处。
步骤 2/5
目标：确定图形形状与面积公式
设 $a>1$，则线段 $AB$ 长度为 $a-1$。平移后图形为：长为 $a-1$、宽为2的矩形（因为单位圆直径2），加上两个半径为1的半圆（合成一个整圆）。面积 $S = \text{矩形面积} + \text{圆面积} = 2(a-1) + \pi$。
公式：矩形面积 = 长 × 宽 = (a-1) × 2，圆面积 = π × 1^2 = π
提示：注意矩形宽是单位圆直径2，不是半径。
步骤 3/5
目标：根据已知面积列方程
已知 $S = \pi + 4$，代入得 $2(a-1) + \pi = \pi + 4$，化简得 $2(a-1) = 4$，解得 $a-1=2$，即 $a=3$。
公式：2(a-1) + π = π + 4 ⇒ 2(a-1)=4 ⇒ a-1=2 ⇒ a=3
提示：注意方程两边π抵消。
步骤 4/5
目标：考虑a<1的情况
若 $a<1$，则线段 $AB$ 长度为 $1-a$，但图形形状相同，只是矩形长变为 $1-a$。面积公式为 $S = 2(1-a) + \pi$。令其等于 $\pi+4$，得 $2(1-a)=4$，解得 $1-a=2$，即 $a=-1$。
公式：2(1-a) + π = π + 4 ⇒ 2(1-a)=4 ⇒ 1-a=2 ⇒ a=-1
提示：注意长度取绝对值，但公式中直接用正数长度。
步骤 5/5
目标：综合两种情况得出答案
因此 $a$ 的可能值为 $3$ 或 $-1$。
提示：不要遗漏a<1的情况。
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