清华大学 2022年强基第5题
📝 题目
对于 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\displaystyle f(x)+f(1-x)=1, f(x)=2 f\left(\frac{x}{5}\right)$ ，且对于 $0 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 1$ ，恒有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathrm{f}\left(\frac{1}{2022}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 令 $x=0, f(0)=2 f(0)$ 得 $f(0)=0$ ． $f(0)+f(1)=1$ 得 $f(1)=1$ ． 令 $\displaystyle x=\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ 得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ ． 令 $\displaystyle x=1, f(1)=2 f\left(\frac{1}{5}\right)$ 得 $\displaystyle \left(\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2}$ ． 由 $\displaystyle f(x)=2 f\left(\frac{x}{5}\right)$ ，可得 $\displaystyle f(x)=2^{n} \cdot f\left(\frac{x}{5^{n}}\right)$ ． 因此 $\displaystyle f\left(\frac{1}{3125}\right)=f\left(\frac{1}{5^{5}}\right)=\frac{f(1)}{2^{5}}=\frac{1}{32}$ ． $\displaystyle f\left(\frac{1}{1250}\right)=f\left(\frac{1}{2 \cdot 5^{4}}\right)=\frac{f\left(\frac{1}{2}\right)}{2^{4}}=\frac{1}{32}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求f(0)和f(1)
令 $x=0$，由 $f(x)=2f\left(\frac{x}{5}\right)$ 得 $f(0)=2f(0)$，所以 $f(0)=0$。再由 $f(x)+f(1-x)=1$，令 $x=0$ 得 $f(0)+f(1)=1$，所以 $f(1)=1$。
公式：f(0)=2f(0) ⇒ f(0)=0; f(0)+f(1)=1 ⇒ f(1)=1
提示：注意利用两个条件分别代入特殊值。
步骤 2/7
目标：求f(1/2)
令 $x=\frac{1}{2}$，由 $f(x)+f(1-x)=1$ 得 $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1$，所以 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。
公式：2f(1/2)=1 ⇒ f(1/2)=1/2
提示：注意1-x=x的情况。
步骤 3/7
目标：求f(1/5)
令 $x=1$，由 $f(x)=2f\left(\frac{x}{5}\right)$ 得 $f(1)=2f\left(\frac{1}{5}\right)$，所以 $f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2}$。
公式：f(1)=2f(1/5) ⇒ f(1/5)=1/2
提示：注意f(1)=1。
步骤 4/7
目标：推导递推关系
由 $f(x)=2f\left(\frac{x}{5}\right)$ 反复迭代可得 $f(x)=2^n f\left(\frac{x}{5^n}\right)$。
公式：f(x)=2^n f(x/5^n)
提示：注意迭代次数n为正整数。
步骤 5/7
目标：求f(1/3125)
取 $x=1$，$n=5$，则 $f(1)=2^5 f\left(\frac{1}{5^5}\right)=32 f\left(\frac{1}{3125}\right)$，所以 $f\left(\frac{1}{3125}\right)=\frac{1}{32}$。
公式：f(1)=2^5 f(1/3125) ⇒ f(1/3125)=1/32
提示：注意5^5=3125。
步骤 6/7
目标：求f(1/1250)
取 $x=\frac{1}{2}$，$n=4$，则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=2^4 f\left(\frac{1}{2\cdot5^4}\right)=16 f\left(\frac{1}{1250}\right)$，所以 $f\left(\frac{1}{1250}\right)=\frac{1}{32}$。
公式：f(1/2)=2^4 f(1/1250) ⇒ f(1/1250)=1/32
提示：注意2*5^4=1250。
步骤 7/7
目标：利用单调性比较1/2022与已知点
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，且 $\frac{1}{3125} < \frac{1}{2022} < \frac{1}{1250}$，所以 $f\left(\frac{1}{3125}\right) \le f\left(\frac{1}{2022}\right) \le f\left(\frac{1}{1250}\right)$。而 $f\left(\frac{1}{3125}\right)=f\left(\frac{1}{1250}\right)=\frac{1}{32}$，因此 $f\left(\frac{1}{2022}\right)=\frac{1}{32}$。
公式：单调性：若x1≤x2则f(x1)≤f(x2)
提示：注意比较分母大小：3125>2022>1250，所以倒数大小关系相反。
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