清华大学 2022年强基第6题
📝 题目
对于三个正整数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，有 $\sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 为三个连续正整数，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】设 $\sqrt{a+b}=n-1, \sqrt{b+c}=n, \sqrt{a+c}=n+1$ ． $\left\{\begin{array}{l}a+b=(n-1)^{2} \\ b+c=n^{2} \\ a+c=(n+1)^{2} .\end{array}\right.$ 解得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a=\frac{n^{2}}{2}-1 \\ b=\frac{n^{2}}{2}-2 n \\ c=\frac{n^{2}}{2}+2 n .\end{array}\right.$ 由于 $a, b, c$ 是正是整数， n 为偶数， $\mathrm{b}\gt 0, n \geq 6$ ．当 $n=6$ 时 $a, b, c$ 值最小， 此时 $a=19 b=6, c=30$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1397$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定变量表示连续正整数
设 $\sqrt{a+b}=n-1$, $\sqrt{b+c}=n$, $\sqrt{a+c}=n+1$，其中 $n$ 为正整数且 $n\geq 2$。
提示：注意连续正整数可以是 $n-1, n, n+1$，但需确保 $n-1\geq 1$，即 $n\geq 2$。
步骤 2/6
目标：平方得到方程组
对三个等式两边平方，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a+b = (n-1)^2 \\
b+c = n^2 \\
a+c = (n+1)^2
\end{cases}
$$
提示：平方时注意不要遗漏平方项。
步骤 3/6
目标：解方程组用n表示a,b,c
将三个方程相加得 $2(a+b+c) = (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 3n^2 + 2$，所以 $a+b+c = \frac{3n^2+2}{2}$。
然后分别减去每个方程：
$$
a = (a+b+c) - (b+c) = \frac{3n^2+2}{2} - n^2 = \frac{n^2}{2} + 1 \\
b = (a+b+c) - (a+c) = \frac{3n^2+2}{2} - (n+1)^2 = \frac{n^2}{2} - 2n \\
c = (a+b+c) - (a+b) = \frac{3n^2+2}{2} - (n-1)^2 = \frac{n^2}{2} + 2n
$$
提示：注意计算 $a$ 时，原解析中 $a=\frac{n^2}{2}-1$ 有误，应为 $a=\frac{n^2}{2}+1$。验证：$a+b = (\frac{n^2}{2}+1)+(\frac{n^2}{2}-2n)=n^2-2n+1=(n-1)^2$，正确。
步骤 4/6
目标：确定n的奇偶性和取值范围
由于 $a,b,c$ 为正整数，$a=\frac{n^2}{2}+1$ 为整数，所以 $n^2$ 为偶数，即 $n$ 为偶数。
又 $b=\frac{n^2}{2}-2n > 0$，即 $\frac{n^2}{2} > 2n$，解得 $n > 4$，所以 $n \geq 6$。
提示：注意 $b>0$ 的条件，$n$ 最小为6。
步骤 5/6
目标：求n=6时的a,b,c及平方和
取 $n=6$，则
$$
a = \frac{6^2}{2}+1 = 18+1=19 \\
b = \frac{6^2}{2}-2\cdot6 = 18-12=6 \\
c = \frac{6^2}{2}+2\cdot6 = 18+12=30
$$
计算平方和：
$$
a^2+b^2+c^2 = 19^2+6^2+30^2 = 361+36+900 = 1397
$$
提示：注意 $n$ 增大时 $a,b,c$ 均增大，平方和也增大，所以 $n=6$ 时平方和最小。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证 $\sqrt{a+b}=\sqrt{19+6}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{b+c}=\sqrt{6+30}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{a+c}=\sqrt{19+30}=\sqrt{49}=7$，确实是三个连续正整数。
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