清华大学 2022年强基第7题
📝 题目
已知 $a^{2}+a b+b^{2}=3$ ，求 $a^{2}+b^{2}-a b$ 的最大值和最小值。
💡 答案解析
【解析】 $$ \begin{gathered} a^{2}+b^{2}+a b=3 \\ a^{2}+b^{2} \geq 2 a b \cdot a^{2}+b^{2} \geqslant-2 a b \end{gathered} $$ 代入得 $3-a b \geqslant 2 a b$ 则 $a b \leq 1$ ．等号当 $a=b=1$ 时取到 同理 $3-a b \geqslant-2 a b$ 则 $a b \geqslant-3$ ．等号当 $a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{3}$ 取到 $$ \begin{gathered} -3 \leqslant a b \leqslant 1 \\ 1 \leqslant a^{2}+b^{2}-a b=3-2 a b \end{gathered} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立已知条件与目标表达式的关系
已知 $a^{2}+a b+b^{2}=3$，目标为求 $a^{2}+b^{2}-a b$ 的最值。注意到目标表达式与已知条件相差 $2ab$，即 $a^{2}+b^{2}-a b = (a^{2}+a b+b^{2}) - 2ab = 3 - 2ab$。因此，问题转化为求 $ab$ 的取值范围。
公式：a^{2}+b^{2}-a b = 3 - 2ab
提示：注意符号：$a^{2}+b^{2}-ab$ 与 $a^{2}+ab+b^{2}$ 相差 $2ab$，不是 $ab$。
步骤 2/6
目标：利用基本不等式求ab的上界
由基本不等式 $a^{2}+b^{2} \geq 2ab$，代入已知条件 $a^{2}+b^{2}=3-ab$，得 $3-ab \geq 2ab$，即 $3 \geq 3ab$，所以 $ab \leq 1$。等号成立当 $a=b$，代入 $a^{2}+a^{2}+a^{2}=3$ 得 $a^{2}=1$，即 $a=b=1$ 或 $a=b=-1$。
公式：a^{2}+b^{2} \geq 2ab
提示：注意等号成立条件：$a=b$。
步骤 3/6
目标：利用基本不等式求ab的下界
由基本不等式 $a^{2}+b^{2} \geq -2ab$（因为 $a^{2}+b^{2} \geq 0$，而 $-2ab$ 可能为负，但该不等式恒成立，实际上由 $(a+b)^{2} \geq 0$ 可得 $a^{2}+b^{2} \geq -2ab$），代入 $a^{2}+b^{2}=3-ab$，得 $3-ab \geq -2ab$，即 $3 \geq -ab$，所以 $ab \geq -3$。等号成立当 $a+b=0$，代入 $a^{2}+ab+b^{2}=a^{2}-a^{2}+a^{2}=a^{2}=3$，得 $a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{3}$ 或 $a=-\sqrt{3}, b=\sqrt{3}$。
公式：a^{2}+b^{2} \geq -2ab
提示：注意 $a^{2}+b^{2} \geq -2ab$ 等价于 $(a+b)^{2} \geq 0$，恒成立。
步骤 4/6
目标：确定ab的取值范围
综合上界和下界，得到 $ab$ 的取值范围：$-3 \leq ab \leq 1$。
提示：注意边界是否可取到，已通过等号条件验证。
步骤 5/6
目标：转化目标表达式并求最值
目标表达式 $a^{2}+b^{2}-ab = 3 - 2ab$。由于 $ab$ 的范围是 $[-3, 1]$，则 $-2ab$ 的范围是 $[-2, 6]$（注意乘以负数不等号方向改变），所以 $3-2ab$ 的范围是 $[1, 9]$。即最小值为 $1$，最大值为 $9$。
公式：a^{2}+b^{2}-ab = 3 - 2ab
提示：注意 $ab$ 取最小值 $-3$ 时，$3-2ab$ 取最大值 $9$；$ab$ 取最大值 $1$ 时，$3-2ab$ 取最小值 $1$。
步骤 6/6
目标：验证最值取到的情况
最小值 $1$ 在 $ab=1$ 时取到，即 $a=b=1$ 或 $a=b=-1$；最大值 $9$ 在 $ab=-3$ 时取到，即 $a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{3}$ 或 $a=-\sqrt{3}, b=\sqrt{3}$。
提示：验证时需代入原条件 $a^{2}+ab+b^{2}=3$ 是否成立。
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