清华大学 2022年强基第8题
📝 题目
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sin \frac{(2 k-1) \pi}{2 n}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别定积分形式
注意到极限表达式为 $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sin\frac{(2k-1)\pi}{2n}$，这类似于黎曼和的形式。一般地，$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$。但这里自变量为 $\frac{(2k-1)\pi}{2n}$，不是简单的 $k/n$。
提示：注意黎曼和的标准形式是 $\frac{1}{n}\sum f(k/n)$，这里需要调整。
步骤 2/5
目标：变量替换
令 $x_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$，则 $k$ 从1到 $n$ 时，$x_k$ 从 $\frac{\pi}{2n}$ 到 $\frac{(2n-1)\pi}{2n}$，步长为 $\frac{\pi}{n}$。但求和因子是 $\frac{1}{n}$，不是 $\frac{\pi}{n}$。因此，我们考虑将表达式改写为 $\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin x_k$。
公式：$\frac{1}{n} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n}$
提示：注意步长与因子的一致性。
步骤 3/5
目标：转化为黎曼和
于是原极限 $= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n} \sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)$。令 $\Delta x = \frac{\pi}{n}$，则 $x_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ 是区间 $[0,\pi]$ 上的中点取样。因此，该和式是函数 $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上的黎曼和，对应定积分 $\int_0^\pi \sin x dx$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*) \Delta x = \int_a^b f(x) dx$，其中 $x_k^*$ 是子区间中的任意点。
提示：注意积分区间是 $[0,\pi]$，因为 $x_1 = \frac{\pi}{2n} \to 0$，$x_n = \frac{(2n-1)\pi}{2n} \to \pi$。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $\int_0^\pi \sin x dx$。原函数为 $-\cos x$，所以 $\int_0^\pi \sin x dx = [-\cos x]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$。
公式：$\int \sin x dx = -\cos x + C$
提示：注意符号：$\cos\pi = -1$，$\cos 0 = 1$。
步骤 5/5
目标：得出极限值
因此，原极限 $= \frac{1}{\pi} \times 2 = \frac{2}{\pi}$。
提示：不要忘记乘以 $1/\pi$。
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