清华大学 2022年强基第9题
📝 题目
曲线 C：$\left(x^{2}-y^{2}\right)^{3}=16 x^{2} y^{2}$ 。 A．曲线 $C$ 仅过 $(0,0)$ 一个整点 B．曲线 C 上的点距原点最大距离为 2 C．曲线 C 围成的图形面积大于 $4 \pi$ D．曲线 C 为轴对称图形
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析曲线方程，判断对称性
将方程中的 $x$ 替换为 $-x$，方程不变；将 $y$ 替换为 $-y$，方程也不变。因此曲线关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点对称，是轴对称图形。
提示：对称性判断：若 $f(-x,y)=f(x,y)$，则关于 $y$ 轴对称；若 $f(x,-y)=f(x,y)$，则关于 $x$ 轴对称。
步骤 2/5
目标：判断整点 $(0,0)$ 是否在曲线上
代入 $(0,0)$：左边 $(0-0)^3=0$，右边 $16\cdot0\cdot0=0$，等式成立。但还需检查其他整点。尝试 $x=0$，则方程化为 $(-y^2)^3=0$，得 $y=0$；同理 $y=0$ 得 $x=0$。因此只有 $(0,0)$ 一个整点。
提示：整点指坐标均为整数的点。
步骤 3/5
目标：求曲线上的点到原点的最大距离
设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，代入方程得 $(r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta))^3 = 16 r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta$，即 $r^6 \cos^2 2\theta = 4 r^4 \sin^2 2\theta$。若 $r\neq0$，则 $r^2 = 4 \tan^2 2\theta$，所以 $r = 2|\tan 2\theta|$。当 $\theta\to\frac{\pi}{4}$ 时，$\tan 2\theta\to\infty$，$r\to\infty$，因此距离无最大值，选项B错误。
公式：$r^2 = 4 \tan^2 2\theta$
提示：极坐标变换简化方程。
步骤 4/5
目标：估计曲线围成的图形面积
由极坐标形式 $r=2|\tan 2\theta|$，当 $\theta$ 接近 $\frac{\pi}{4}$ 时 $r$ 趋于无穷，曲线向外无限延伸，因此围成的图形面积无穷大，大于 $4\pi$，选项C正确。
提示：注意曲线可能无限延伸。
步骤 5/5
目标：综合判断各选项
A：只有 $(0,0)$ 一个整点，正确；B：距离无最大值，错误；C：面积无穷大，大于 $4\pi$，正确；D：轴对称，正确。因此正确选项为A、C、D。
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