清华大学 2022年强基第10题
📝 题目
任意四边形 $\mathrm{ABCD}, \overrightarrow{A C}=\vec{a}, \overrightarrow{B D}=\vec{b}$ ，则 $(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=$ $\_\_\_\_$ （用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将向量用基向量表示
设 $\overrightarrow{AB} = \vec{x}$，$\overrightarrow{AD} = \vec{y}$，则 $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \vec{a} - \vec{y}$，$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{a} - \vec{x}$，$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{y} - \vec{x} = \vec{b}$。
公式：$\overrightarrow{DC} = \vec{a} - \vec{y}$，$\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{x}$，$\vec{y} - \vec{x} = \vec{b}$
提示：选择 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 作为基向量，便于表示其他向量。
步骤 2/6
目标：计算 $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \vec{y} + (\vec{a} - \vec{x}) = \vec{a} + \vec{y} - \vec{x}$。
公式：$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{y} - \vec{x}$
提示：注意向量加法规则。
步骤 3/6
目标：计算 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{x} + (\vec{a} - \vec{y}) = \vec{a} + \vec{x} - \vec{y}$。
公式：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{a} + \vec{x} - \vec{y}$
提示：注意向量加法规则。
步骤 4/6
目标：计算两个向量的点积
$(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}) = (\vec{a} + \vec{y} - \vec{x}) \cdot (\vec{a} + \vec{x} - \vec{y})$。
公式：$(\vec{a} + \vec{y} - \vec{x}) \cdot (\vec{a} + \vec{x} - \vec{y})$
提示：展开点积时注意分配律。
步骤 5/6
目标：展开点积并化简
展开得：$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{x} - \vec{a} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{a} + \vec{y} \cdot \vec{x} - \vec{y} \cdot \vec{y} - \vec{x} \cdot \vec{a} - \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y}$。合并同类项：$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{y} \cdot \vec{y} - \vec{x} \cdot \vec{x} + 2\vec{x} \cdot \vec{y}$。注意 $\vec{a} \cdot \vec{x}$ 与 $-\vec{x} \cdot \vec{a}$ 抵消，$\vec{a} \cdot \vec{y}$ 与 $-\vec{y} \cdot \vec{a}$ 抵消。
公式：$|\vec{a}|^2 - |\vec{x}|^2 - |\vec{y}|^2 + 2\vec{x} \cdot \vec{y}$
提示：注意向量点积的交换律。
步骤 6/6
目标：利用 $\vec{b} = \vec{y} - \vec{x}$ 化简
由 $\vec{b} = \vec{y} - \vec{x}$，得 $|\vec{b}|^2 = |\vec{y} - \vec{x}|^2 = |\vec{y}|^2 + |\vec{x}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y}$，所以 $2\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - |\vec{b}|^2$。代入上式：$|\vec{a}|^2 - |\vec{x}|^2 - |\vec{y}|^2 + (|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - |\vec{b}|^2) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$。
公式：$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$
提示：利用 $\vec{b}$ 的模长关系消去 $\vec{x}, \vec{y}$。
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