清华大学 2022年强基第12题
📝 题目
$a x+b y=A, a x^{2}+b y^{2}=B a x^{3}+b y^{3}=C a x^{4}+b y^{4}=D \cdots \cdots$ 求 $a x^{5}+b y^{5}$ 的值（用含 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ， $C, D$ 的值表示）。
💡 答案解析
【解析】设 $E=a x^{5}+b y^{5}$ $A C-B^{2}=a b x y(x-y)^{2}$. $A D-B C=a b x y\left(x^{3}+y^{3}-x^{2} y-x y^{2}\right)$. $=a b x y(x-y)\left(x^{2}-y^{2}\right)$ ． $=a b x y(x-y)^{2}(x+y)$ $A E-C^{2}=a b x y\left(x^{2}+y^{4}-2 x^{2} y^{2}\right)=a b x y(x-y)^{2}(x+y)^{2}$. $\displaystyle \left(A E-C^{2}\right)^{2}=\frac{(A D-B C)^{2}}{A C-B^{2}}$ $\displaystyle A E=C^{2}+\frac{(A D-B C)^{2}}{A C-B^{2}}$ ． $\displaystyle =\frac{A^{2} D^{2}-2 A B C D+A C^{3}}{A C-B^{2}}$ $\displaystyle E=\frac{A D^{2}-2 B C D+C^{3}}{A C-B^{2}}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入符号并观察已知条件
设 $E = a x^5 + b y^5$。已知 $A = a x + b y$, $B = a x^2 + b y^2$, $C = a x^3 + b y^3$, $D = a x^4 + b y^4$。目标是求 $E$ 用 $A, B, C, D$ 表示。
提示：注意对称性，考虑利用恒等式消去 $a, b$ 或 $x, y$。
步骤 2/6
目标：计算 $AC - B^2$
计算 $AC - B^2 = (a x + b y)(a x^3 + b y^3) - (a x^2 + b y^2)^2$。展开得 $a^2 x^4 + a b x y^3 + a b x^3 y + b^2 y^4 - (a^2 x^4 + 2 a b x^2 y^2 + b^2 y^4) = a b x y (x^2 + y^2 - 2 x y) = a b x y (x - y)^2$。
公式：$AC - B^2 = a b x y (x - y)^2$
提示：注意交叉项合并。
步骤 3/6
目标：计算 $AD - BC$
计算 $AD - BC = (a x + b y)(a x^4 + b y^4) - (a x^2 + b y^2)(a x^3 + b y^3)$。展开得 $a^2 x^5 + a b x y^4 + a b x^4 y + b^2 y^5 - (a^2 x^5 + a b x^2 y^3 + a b x^3 y^2 + b^2 y^5) = a b x y (x^3 + y^3 - x^2 y - x y^2) = a b x y (x - y)(x^2 - y^2) = a b x y (x - y)^2 (x + y)$。
公式：$AD - BC = a b x y (x - y)^2 (x + y)$
提示：因式分解时提取公因式。
步骤 4/6
目标：计算 $AE - C^2$
计算 $AE - C^2 = (a x + b y)(a x^5 + b y^5) - (a x^3 + b y^3)^2$。展开得 $a^2 x^6 + a b x y^5 + a b x^5 y + b^2 y^6 - (a^2 x^6 + 2 a b x^3 y^3 + b^2 y^6) = a b x y (x^4 + y^4 - 2 x^2 y^2) = a b x y (x^2 - y^2)^2 = a b x y (x - y)^2 (x + y)^2$。
公式：$AE - C^2 = a b x y (x - y)^2 (x + y)^2$
提示：注意 $(x^2 - y^2)^2 = (x-y)^2 (x+y)^2$。
步骤 5/6
目标：建立 $AE - C^2$ 与 $AD - BC$ 和 $AC - B^2$ 的关系
由前两步结果：$AD - BC = a b x y (x - y)^2 (x + y)$，$AC - B^2 = a b x y (x - y)^2$，$AE - C^2 = a b x y (x - y)^2 (x + y)^2$。因此 $(AE - C^2) = \frac{(AD - BC)^2}{AC - B^2}$。
公式：$AE - C^2 = \frac{(AD - BC)^2}{AC - B^2}$
提示：注意分母不为零。
步骤 6/6
目标：解出 $E$
由 $AE - C^2 = \frac{(AD - BC)^2}{AC - B^2}$，得 $AE = C^2 + \frac{(AD - BC)^2}{AC - B^2}$。所以 $E = \frac{C^2}{A} + \frac{(AD - BC)^2}{A(AC - B^2)}$。通分得 $E = \frac{C^2(AC - B^2) + (AD - BC)^2}{A(AC - B^2)} = \frac{A C^3 - B^2 C^2 + A^2 D^2 - 2 A B C D + B^2 C^2}{A(AC - B^2)} = \frac{A^2 D^2 - 2 A B C D + A C^3}{A(AC - B^2)} = \frac{A D^2 - 2 B C D + C^3}{A C - B^2}$。
公式：$E = \frac{A D^2 - 2 B C D + C^3}{A C - B^2}$
提示：化简时注意分子分母约去公因子 $A$。
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