清华大学 2021年强基第1题
📝 题目
椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, A(-2,0), P(1,0)$ 过 $P$ 作 $l$ 交椭圆于 $M N, A M, A N$ 交 $x=1$ 于 $B, C$ ，下面正确的有 ）。 A．$|P B|+|P C|$ 为定值 B．$|P B \| P C|$ 为定值 C．$|P B|+|P C|$ 可能等于 2 D．$|P B||P C|$ 可能等于 2
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设直线l的参数方程，联立椭圆求交点坐标关系
设直线l过点P(1,0)，斜率为k，则l方程为y=k(x-1)。联立椭圆方程：x^2/4 + y^2 = 1，代入得x^2/4 + k^2(x-1)^2 = 1，整理得(1+4k^2)x^2 - 8k^2 x + 4k^2 - 4 = 0。设M(x1,y1), N(x2,y2)，则x1+x2 = 8k^2/(1+4k^2)，x1x2 = (4k^2-4)/(1+4k^2)。
公式：x1+x2 = \frac{8k^2}{1+4k^2}, x1x2 = \frac{4k^2-4}{1+4k^2}
提示：注意直线过定点，设点斜式方便联立。
步骤 2/4
目标：写出直线AM和AN的方程，求与直线x=1的交点B和C
A(-2,0)，则直线AM方程为y = y1/(x1+2) (x+2)。令x=1，得y_B = y1/(x1+2) * 3 = 3y1/(x1+2)。同理，y_C = 3y2/(x2+2)。所以B(1, 3y1/(x1+2))，C(1, 3y2/(x2+2))。
公式：y_B = \frac{3y_1}{x_1+2}, y_C = \frac{3y_2}{x_2+2}
提示：利用点斜式写出直线方程，再代入x=1。
步骤 3/4
目标：计算|PB|和|PC|的长度，并求其和与积
P(1,0)，所以|PB| = |y_B|，|PC| = |y_C|。由于y_B和y_C可能同号或异号，但绝对值乘积等于|y_B y_C|。计算y_B y_C = 9y1y2/[(x1+2)(x2+2)]。利用y1=k(x1-1), y2=k(x2-1)，则y1y2 = k^2(x1-1)(x2-1) = k^2[x1x2 - (x1+x2) + 1]。代入韦达定理，计算得y1y2 = -9k^2/(1+4k^2)。再计算(x1+2)(x2+2) = x1x2 + 2(x1+x2) + 4 = (4k^2-4)/(1+4k^2) + 16k^2/(1+4k^2) + 4 = (20k^2+0)/(1+4k^2) + 4? 仔细计算：x1x2+2(x1+x2)+4 = (4k^2-4)/(1+4k^2) + 16k^2/(1+4k^2) + 4 = (20k^2-4)/(1+4k^2) + 4 = (20k^2-4+4+16k^2)/(1+4k^2) = (36k^2)/(1+4k^2)。所以y_B y_C = 9 * (-9k^2/(1+4k^2)) / (36k^2/(1+4k^2)) = 9 * (-9k^2)/(36k^2) = -81/36 = -9/4。因此|PB|*|PC| = |y_B y_C| = 9/4，为定值。而|PB|+|PC| = |y_B|+|y_C|，不是定值，因为y_B和y_C可能一正一负，绝对值之和变化。
公式：|PB| \cdot |PC| = \frac{9}{4}
提示：注意绝对值处理，乘积为定值，和不是定值。
步骤 4/4
目标：判断选项正误
A. |PB|+|PC|为定值：错误，因为和随k变化。B. |PB||PC|为定值：正确，定值为9/4。C. |PB|+|PC|可能等于2：由于|PB|+|PC|≥2√(|PB||PC|)=2√(9/4)=3，所以最小值3，不可能等于2，错误。D. |PB||PC|可能等于2：定值为9/4=2.25，不等于2，错误。
公式：均值不等式：|PB|+|PC| \geq 2\sqrt{|PB||PC|} = 3
提示：利用基本不等式判断范围。
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