清华大学 2021年强基第2题
📝 题目
$B C / / D E, B C$ 为直径，四边形 $A E B C$ 为圆 $O$ 外接，$B E=12, D E=D C=14$ ，求 $A E, B D$ 。 
💡 答案解析
【解析】延长 ED 交圆 $O$ 于 F ，则由 $\mathrm{DE}=\mathrm{DC}$ ，由对称性可得 $\mathrm{AE}=\mathrm{FC}=\mathrm{BE}=12$ 连接 E 0 ，四边形 OCDE 是菱形，所以 $\mathrm{BC}=28$ ， $\displaystyle \operatorname{COS} \angle A C B=\operatorname{COS} \angle E O B=\frac{31}{49}$ ，而 $\mathrm{DC}=14, \mathrm{BC}=28$ ，用余弦定理可求 BD 长为 22 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用对称性求AE
延长ED交圆O于F。由DE=DC，且BC为直径，根据对称性，可得AE=FC=BE=12。
提示：注意对称性的应用条件：DE=DC且BC为直径。
步骤 2/5
目标：证明四边形OCDE为菱形
连接OE。因为BC为直径，O为圆心，所以OC=OE=半径。由DE=DC，且BC//DE，可证四边形OCDE为菱形，从而OC=CD=DE=OE=14。
提示：菱形判定：四边相等或平行四边形+邻边相等。
步骤 3/5
目标：求直径BC的长度
由菱形OCDE，OC=14，所以BC=2×OC=28。
提示：直径是半径的两倍。
步骤 4/5
目标：求角ACB的余弦值
在圆O中，∠ACB对应弧AB，∠EOB对应弧EB。由AE=BE=12，且OE=14，在等腰△OEB中，由余弦定理：cos∠EOB = (OE²+OB²-BE²)/(2·OE·OB) = (14²+14²-12²)/(2×14×14) = (196+196-144)/(392) = 248/392 = 31/49。因为∠ACB=∠EOB（同弧所对圆周角等于圆心角的一半？注意：∠ACB是圆周角，∠EOB是圆心角，但这里弧AB和弧EB不一定相等。实际上，由AE=BE，弧AE=弧BE，所以∠ACB对应弧AB，而∠EOB对应弧EB，弧AB=2弧EB？需要重新推导。更准确：因为AE=BE，所以弧AE=弧BE，所以∠AOE=∠EOB。又∠ACB=1/2∠AOB=1/2(∠AOE+∠EOB)=∠EOB。所以cos∠ACB=cos∠EOB=31/49。
公式：余弦定理：$\cos\theta = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
提示：注意圆周角与圆心角的关系，以及弧相等条件。
步骤 5/5
目标：在三角形BCD中求BD
在△BCD中，已知BC=28，CD=14，∠BCD=∠ACB（同角），所以cos∠BCD=31/49。由余弦定理：BD² = BC² + CD² - 2·BC·CD·cos∠BCD = 28² + 14² - 2×28×14×(31/49) = 784 + 196 - (2×28×14×31)/49 = 980 - (2×28×14×31)/49。计算：28×14=392，2×392×31=784×31=24304，除以49得496，所以BD²=980-496=484，故BD=22。
公式：余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
提示：注意角的对应关系，以及计算准确性。
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