清华大学 2021年强基第3题
📝 题目
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数，$x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列， $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}$ ，求 $X$ 大于 $Y$ 的概率。
💡 答案解析
【解析】不妨假设 $x_{i 1}=\min \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right\}$ ，并假设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 取值为 $1,2,3,4$ ，则对 $x_{i 2}$分别为 $2,3,4$ 的情况进行讨论： $x_{\mathrm{i} 2}=2$ 时，$X=3, Y=2, X\gt Y$ $x_{i 2}=3$ 时，$X=2, Y=3, X\lt Y$ $x_{\mathrm{i} 2}=4$ 时，$X=2, Y=3, X\lt Y$ 故 $\displaystyle P(X\gt Y)=\frac{1}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并简化假设
由于 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 是互不相等的正实数，且问题只涉及大小比较，我们可以不失一般性地假设它们为 $1,2,3,4$（从小到大排列）。同时，由于对称性，我们可以固定 $x_{i1}$ 为最小值 $1$，然后考虑 $x_{i2}$ 的可能取值。这样简化了问题，因为 $X$ 和 $Y$ 的定义只依赖于相对大小。
提示：注意：假设具体数值不影响概率，因为概率只依赖于序关系。
步骤 2/5
目标：列出所有可能的排列情况
固定 $x_{i1}=1$ 后，$x_{i2}$ 可以是 $2,3,4$ 中的任意一个。对于每种情况，剩下的两个数自动分配给 $x_{i3}$ 和 $x_{i4}$（顺序无关紧要，因为 $X$ 和 $Y$ 只关心分组内的最小和最大）。因此共有三种情况：
- 情况1: $x_{i2}=2$，则 $x_{i3},x_{i4}$ 为 $3,4$（顺序任意）
- 情况2: $x_{i2}=3$，则 $x_{i3},x_{i4}$ 为 $2,4$
- 情况3: $x_{i2}=4$，则 $x_{i3},x_{i4}$ 为 $2,3$
提示：注意：这里只考虑 $x_{i1}$ 固定为最小值，因为其他情况可以通过对称性归约。
步骤 3/5
目标：计算每种情况下的 X 和 Y
对于情况1：$x_{i1}=1, x_{i2}=2$，则 $\min\{x_{i1},x_{i2}\}=1$，$\min\{x_{i3},x_{i4}\}=3$（因为 $3,4$ 中最小为 $3$），所以 $X = \max\{1,3\}=3$。$\max\{x_{i1},x_{i2}\}=2$，$\max\{x_{i3},x_{i4}\}=4$，所以 $Y = \min\{2,4\}=2$。因此 $X > Y$。
对于情况2：$x_{i1}=1, x_{i2}=3$，则 $\min\{1,3\}=1$，$\min\{2,4\}=2$，$X = \max\{1,2\}=2$。$\max\{1,3\}=3$，$\max\{2,4\}=4$，$Y = \min\{3,4\}=3$。因此 $X < Y$。
对于情况3：$x_{i1}=1, x_{i2}=4$，则 $\min\{1,4\}=1$，$\min\{2,3\}=2$，$X = \max\{1,2\}=2$。$\max\{1,4\}=4$，$\max\{2,3\}=3$，$Y = \min\{4,3\}=3$。因此 $X < Y$。
提示：注意：计算时要仔细区分 min 和 max 的嵌套顺序。
步骤 4/5
目标：统计 X > Y 的情况数
在三种情况中，只有情况1满足 $X > Y$，情况2和情况3都是 $X < Y$。因此 $X > Y$ 的情况数为1，总情况数为3。
提示：注意：这里假设每种情况等可能，因为 $x_{i2}$ 等可能地取 $2,3,4$。
步骤 5/5
目标：计算概率
由于 $x_{i2}$ 取 $2,3,4$ 的概率相等，且每种情况对应一个排列，所以 $X > Y$ 的概率为 $\frac{1}{3}$。
公式：P(X>Y) = \frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}} = \frac{1}{3}
提示：注意：这里假设 $x_{i1}$ 固定为最小值，但通过对称性，其他情况概率相同，因此结果正确。
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