清华大学 2021年强基第4题
📝 题目
有 $n$ 个质点，每个质点质量为 $m_{k}$ ，则质心位置 $\displaystyle x=\frac{\sum m_{k} x_{k}}{\sum m_{k}}$ ，对于一杆，长 3 m ，放于 $x \in[-1,2]$间，且线密度满足 $\beta=2+x$ ，则质心应位于： 。 A．$\displaystyle x=\frac{2}{15}$ B．$\displaystyle x=\frac{2}{5}$ C．$\displaystyle x=\frac{3}{5}$ D．$\displaystyle x=\frac{4}{5}$
💡 答案解析
D【解析】质心位置 $\displaystyle =\frac{\int_{-1}^{2}(2+x) x \mathrm{~d} x}{\int_{-1}^{2}(2+x) \mathrm{d} x}=\frac{3+3}{1.5+6}=\frac{4}{5}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解质心公式与连续化
对于离散质点，质心位置为 $x = \frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k}$。对于连续分布的杆，将质量离散化：微元长度 $\mathrm{d}x$ 的质量为 $\mathrm{d}m = \beta(x) \mathrm{d}x$，其中线密度 $\beta(x)=2+x$。则质心公式转化为积分形式：$x_c = \frac{\int x \, \mathrm{d}m}{\int \mathrm{d}m} = \frac{\int_{-1}^{2} x \beta(x) \, \mathrm{d}x}{\int_{-1}^{2} \beta(x) \, \mathrm{d}x}$。
公式：$x_c = \frac{\int x \beta(x) \, \mathrm{d}x}{\int \beta(x) \, \mathrm{d}x}$
提示：注意积分区间为 $[-1,2]$，长度为3m，不要误写为 $[0,3]$。
步骤 2/5
目标：计算分母：总质量
计算分母积分：$\int_{-1}^{2} \beta(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} (2+x) \, \mathrm{d}x$。先求原函数：$\int (2+x) \, \mathrm{d}x = 2x + \frac{x^2}{2}$。代入上下限：$(2\cdot 2 + \frac{2^2}{2}) - (2\cdot(-1) + \frac{(-1)^2}{2}) = (4+2) - (-2+0.5) = 6 - (-1.5) = 7.5$。即 $\frac{15}{2}$。
公式：$\int (2+x) \, \mathrm{d}x = 2x + \frac{x^2}{2}$
提示：注意计算时符号：减去负值要变号。
步骤 3/5
目标：计算分子：质心矩
计算分子积分：$\int_{-1}^{2} x \beta(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} x(2+x) \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} (2x + x^2) \, \mathrm{d}x$。求原函数：$\int (2x + x^2) \, \mathrm{d}x = x^2 + \frac{x^3}{3}$。代入上下限：$(2^2 + \frac{2^3}{3}) - ((-1)^2 + \frac{(-1)^3}{3}) = (4 + \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{20}{3} - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} = 6$。
公式：$\int (2x + x^2) \, \mathrm{d}x = x^2 + \frac{x^3}{3}$
提示：注意 $(-1)^3 = -1$，所以 $\frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}$，减去时注意符号。
步骤 4/5
目标：计算质心位置
将分子和分母代入质心公式：$x_c = \frac{6}{\frac{15}{2}} = 6 \times \frac{2}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$。因此质心位于 $x = \frac{4}{5}$。
公式：$x_c = \frac{\text{分子}}{\text{分母}}$
提示：分数除法：除以分数等于乘以它的倒数。
步骤 5/5
目标：验证选项
计算得到 $x_c = \frac{4}{5}$，对应选项 D。
提示：检查选项是否匹配。
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