清华大学 2021年强基第5题
📝 题目
有限项等差数列的公差为 4 ，第二项起各项之和 + 首项的平方 $\lt 100$ ，则该数列可能有几项？
💡 答案解析
【解析】设一共有 n 项（ $\mathrm{n}\gt 1$ ）首项为 a ，则由题意，有 $$ a^{2}+\frac{2 a+4 n}{2}(n-1)\lt 100 $$ 即 $$ a^{2}+(n-1) a+2 n(n-1)-100\lt 0 $$ a 有解，说明上式 $\Delta>0$ ，计算可得 n 最大为 7 ，所以可能为 n 项， $1 \leq n \leq 7$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设未知数并列出不等式
设数列有n项（n>1），首项为a，公差为4。第二项起各项之和为首项平方的补数，即a² + (n-1)项的和 < 100。
公式：S_{n-1} = \frac{(a+4) + (a+4(n-1))}{2} (n-1) = \frac{2a+4n}{2}(n-1)
提示：注意第二项起共有n-1项，首项为a+4，末项为a+4(n-1)。
步骤 2/6
目标：化简不等式
代入求和公式得：a² + (a+2n)(n-1) < 100，展开得a² + (n-1)a + 2n(n-1) - 100 < 0。
公式：a^2 + (n-1)a + 2n(n-1) - 100 < 0
提示：将不等式整理成关于a的二次不等式。
步骤 3/6
目标：利用判别式确定n的范围
关于a的二次不等式有解，则判别式Δ ≥ 0。计算Δ = (n-1)² - 4[2n(n-1)-100] ≥ 0。
公式：\Delta = (n-1)^2 - 4[2n(n-1)-100] \geq 0
提示：注意不等式是严格小于0，但a存在实数解要求Δ≥0。
步骤 4/6
目标：化简判别式
展开得(n-1)² - 8n(n-1) + 400 ≥ 0，即(n-1)[(n-1)-8n] + 400 ≥ 0，化简为-7n² + 6n + 399 ≥ 0。
公式：-7n^2 + 6n + 399 \geq 0
提示：注意符号变化。
步骤 5/6
目标：解二次不等式求n的最大值
两边乘以-1得7n² - 6n - 399 ≤ 0。解方程7n² - 6n - 399 = 0，得n ≈ 7.9或负根，故n ≤ 7。
公式：7n^2 - 6n - 399 \leq 0
提示：n为正整数，且n>1。
步骤 6/6
目标：得出n的可能取值
n为整数且1 < n ≤ 7，所以n = 2,3,4,5,6,7，共6种可能。
提示：注意题目问“可能有几项”，即n的可能取值个数。
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