清华大学 2021年强基第6题
📝 题目
已知 $y^{2}=4 x$ ，过 $A(-2,3)$ 做抛物线两条切线，交 $y$ 轴于 $B, C$ 两点，则 $\triangle A B C$ 外接圆方程为 。 A．$\displaystyle (x+1)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$ B．$\displaystyle (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{13}{4}$ C．$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{2}$ D．$\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{17}{4}$
💡 答案解析
C【解析】设 $x=k(y-3)-2$ 则代入 $y^{2}=4 x$ 由 $\Delta=0$ 知 $\mathrm{k}^{2}-3 \mathrm{k}-2=0$ 故代入选项选 C 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设切线方程
设过点A(-2,3)的切线方程为x = k(y-3) - 2，因为切线过A点且斜率k待定。
公式：x = k(y-3) - 2
提示：利用点斜式，但注意抛物线方程形式，设x为y的函数更方便。
步骤 2/5
目标：联立方程并利用判别式为零
将切线方程代入y²=4x得y²=4[k(y-3)-2]，整理得y²-4ky+12k+8=0。由于相切，判别式Δ=0，即(-4k)²-4(12k+8)=0。
公式：Δ = (-4k)² - 4(12k+8) = 0
提示：判别式为零是直线与抛物线相切的条件。
步骤 3/5
目标：求解k的方程
化简Δ=0得16k²-48k-32=0，除以16得k²-3k-2=0。解得k₁,k₂为两根。
公式：k² - 3k - 2 = 0
提示：注意二次方程系数化简。
步骤 4/5
目标：求切线与y轴交点B,C
切线方程x=k(y-3)-2，令x=0得y=3+2/k。所以B,C纵坐标分别为3+2/k₁和3+2/k₂。
公式：y = 3 + 2/k
提示：利用韦达定理可求B,C纵坐标之和与积。
步骤 5/5
目标：确定三角形ABC外接圆方程
由k²-3k-2=0得k₁+k₂=3，k₁k₂=-2。B,C纵坐标之和=6+2(1/k₁+1/k₂)=6+2*(k₁+k₂)/(k₁k₂)=6+2*3/(-2)=3，中点纵坐标1.5。A(-2,3)，B,C纵坐标中点为(0,1.5)，外接圆圆心在AB中垂线上，计算得圆心(-0.5,1.5)，半径平方=9/2。
公式：圆心(-1/2, 3/2)，半径²=9/2
提示：利用对称性简化计算。
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