清华大学 2021年强基第7题
📝 题目
在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$ ，则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是 。 A． $2 \sqrt{2}$ B． $4 \sqrt{2}$ C． $2 \sqrt{3}$ D． $4 \sqrt{3}$
💡 答案解析
D【解析】原题中不明条件看为 $|\lambda|+|\mu| \leq 1$ ，不妨假设 $\mathrm{A}=(2,0), \mathrm{B}=(1, \sqrt{3}), \mathrm{C}=(-2,0)$ ，则 P 的图形的外围边缘为 $\triangle A B C$ 和其关于 X 轴的对称部分，面积为 $4 \sqrt{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定向量OA和OB的几何关系
由|OA|=|OB|=OA·OB=2，得夹角cosθ=OA·OB/(|OA||OB|)=2/4=1/2，故θ=60°。可设A(2,0)，B(1,√3)。
公式：OA·OB = |OA||OB|cosθ
提示：利用点积定义求夹角
步骤 2/6
目标：分析点P的坐标表示
设P(x,y)，则(x,y)=λ(2,0)+μ(1,√3)=(2λ+μ, √3μ)。所以x=2λ+μ, y=√3μ。
公式：OP = λOA + μOB
提示：坐标化便于后续计算
步骤 3/6
目标：用x,y表示λ,μ
由y=√3μ得μ=y/√3；代入x=2λ+μ得λ=(x - y/√3)/2。
公式：λ = (x - y/√3)/2, μ = y/√3
提示：解线性方程组
步骤 4/6
目标：代入约束条件|λ|+|μ|≤1
得|(x - y/√3)/2| + |y/√3| ≤ 1，即|x/2 - y/(2√3)| + |y/√3| ≤ 1。
公式：|λ|+|μ| ≤ 1
提示：绝对值不等式
步骤 5/6
目标：化简不等式并确定区域
令u=x/2, v=y/(2√3)，则不等式为|u - v| + |2v| ≤ 1，即|u-v|+2|v|≤1。该区域为菱形，顶点为(±1,0)和(0,±1/2)在uv平面。
公式：|u-v|+2|v|≤1
提示：线性变换简化
步骤 6/6
目标：变换回xy平面并求面积
uv平面菱形面积=2×1×1/2=1。变换矩阵行列式|J|=|∂(x,y)/∂(u,v)|=2×2√3=4√3，故xy平面面积=1×4√3=4√3。
公式：面积变换公式：S_xy = |J| S_uv
提示：雅可比行列式
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