清华大学 2021年强基第8题
📝 题目
已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$ ，且 $S$ 中任意两项相加不是 5 的倍数，求 $S$ 的元素个数最大值。
💡 答案解析
【解析】U关于 5 的余数可以分为 5 个不同的子集，记模 5 为 i 的数的集合为 $A_{\mathrm{i}}$ ，则 $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 中元素个数分别为 $405,405,404,404,404$ ，则由抽屉原理， S 中元素个数最大值为 $405+404+1=810$ ，因为模 5 为 0 的数最多有一个，模 5 为 2 和 3 不能全取，模 5 为 1 和 4不能全取。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将全集按模5余数分类
将集合 $U = \{0,1,2,\cdots,2021\}$ 中的元素按模5的余数分成5类：$A_i = \{x \in U \mid x \equiv i \pmod{5}\}$，其中 $i=0,1,2,3,4$。
提示：注意全集包含0到2021共2022个元素，分类时要准确计算每类个数。
步骤 2/6
目标：计算每类元素个数
由于 $2022 \div 5 = 404$ 余2，所以余数为0和1的类各有405个元素（因为从0开始，前两个余数多一个），余数为2、3、4的类各有404个元素。即 $|A_0| = 405, |A_1| = 405, |A_2| = 404, |A_3| = 404, |A_4| = 404$。
提示：注意0模5余0，所以$A_0$包含0,5,10,...，共405个。
步骤 3/6
目标：分析任意两项和不为5的倍数的条件
两个数之和是5的倍数当且仅当它们的余数之和模5为0。即：$a \in A_i, b \in A_j$，则 $a+b$ 是5的倍数 $\iff i+j \equiv 0 \pmod{5}$。因此，不能同时选取余数对 $(0,0)$、$(1,4)$、$(2,3)$ 中的两个数。
公式：$i+j \equiv 0 \pmod{5}$
提示：注意余数0与自身相加也是5的倍数，所以$A_0$中最多只能取一个元素。
步骤 4/6
目标：确定最大子集构造策略
为了最大化$S$的元素个数，应尽可能多地选取元素，同时避免违反条件。由于$A_1$和$A_4$不能同时取，$A_2$和$A_3$不能同时取，且$A_0$中最多取一个，因此我们可以在$A_1$和$A_4$中选较大的一个（$A_1$有405个），在$A_2$和$A_3$中选较大的一个（两者都是404个，任选一个），再从$A_0$中取一个。这样总数为 $405 + 404 + 1 = 810$。
提示：注意不能同时取$A_1$和$A_4$，也不能同时取$A_2$和$A_3$，但可以同时取$A_1$和$A_2$，因为1+2=3不是5的倍数。
步骤 5/6
目标：验证构造的可行性
取$S = A_1 \cup A_2 \cup \{0\}$（或$A_1 \cup A_3 \cup \{0\}$等），其中$A_1$和$A_2$内部任意两数之和模5分别为2或3或4，不会为0；$A_1$与$A_2$中元素之和模5为3，不为0；0与任何数之和模5为该数本身，不为0（因为$A_1$和$A_2$中元素模5不为0）。因此满足条件。
提示：注意0只能取一个，如果取多个0，则两个0相加为0，是5的倍数。
步骤 6/6
目标：证明810是最大值
由抽屉原理，$S$中元素最多只能从$A_1 \cup A_4$中选一个子集（最多405个），从$A_2 \cup A_3$中选一个子集（最多404个），从$A_0$中选最多1个，因此总数不超过 $405 + 404 + 1 = 810$。所以最大值就是810。
提示：注意$A_1$和$A_4$不能同时取，但可以取其中一个的全部，另一个不取，所以最大贡献是max(405,404)=405。
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