清华大学 2021年强基第9题
📝 题目
已知 $\displaystyle f(x)=\sin x \cos x+\sin x+\frac{2}{5} \cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，设 $f(x)$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 。 A．$\displaystyle M=\frac{23}{8}$ B．$\displaystyle m=\frac{2}{5}$ C．$\displaystyle M=\frac{38}{25}$ D．$\displaystyle m=\frac{1}{5}$
💡 答案解析
BC【解析】 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\cos (2 x)+\cos x-\frac{2}{5} \sin x f(x)$ 单调下降，$\displaystyle f^{\prime}(0)\gt 0, f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\lt 0$ ，故 $f(x)$ 先增后减，最小值在端点处取得，$\displaystyle f(0)=\frac{2}{5}, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ ，故 $\displaystyle \mathrm{m}=\frac{2}{5}$ ，而 $\displaystyle \sin x=\frac{4}{5}, \cos x=\frac{3}{5}, \cos (2 x)=-\frac{7}{25}$是 $f^{\prime}(x)=0$ 故此时 $f(x)$ 最大为 $\displaystyle \frac{38}{25}$ ，故答案为BC。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导数并分析单调性
对f(x)求导得f'(x)=cos2x+cosx-(2/5)sinx。计算f'(0)=2>0，f'(π/2)=-2/5<0，故f(x)先增后减。
公式：f'(x)=cos2x+cosx-2/5 sinx
提示：利用导数符号判断单调性，注意端点导数值。
步骤 2/5
目标：确定最小值在端点处取得
由于f(x)先增后减，最小值在端点处。计算f(0)=2/5，f(π/2)=1，比较得最小值m=2/5。
公式：f(0)=2/5, f(π/2)=1
提示：端点值比较即可得最小值。
步骤 3/5
目标：求最大值点满足的方程
令f'(x)=0，即cos2x+cosx-(2/5)sinx=0。利用cos2x=2cos²x-1，代入并整理得关于sinx和cosx的方程。
公式：cos2x+cosx-2/5 sinx=0
提示：利用三角恒等式化简。
步骤 4/5
目标：解方程得到sinx和cosx的值
将方程化为(2cos²x-1)+cosx-(2/5)sinx=0，结合sin²x+cos²x=1，解得sinx=4/5，cosx=3/5。
公式：sinx=4/5, cosx=3/5
提示：注意解在[0,π/2]内。
步骤 5/5
目标：计算最大值M
代入sinx=4/5，cosx=3/5到f(x)=sinx cosx+sinx+(2/5)cosx，得M=(4/5)*(3/5)+4/5+(2/5)*(3/5)=12/25+4/5+6/25=38/25。
公式：M=38/25
提示：计算时注意通分。
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