清华大学 2021年强基第10题
📝 题目
已知 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{10}$ 十等分圆，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为 。 A． 60 B． 45 C． 40 D． 50
💡 答案解析
A 【解析】我们先看取的四个点有一个为 $A_{1}$ 的情况。 当另外三个点有一个取到了 $A_{2}$ 时，另外两个点有 $3+6=9$ 种取法； 另外三个点不取 $A_{2}$ 但取到了 $A_{3}$ 时，另两个点有 $2+4=6$ 种取法； 以此类推一共有 24 种取法，但这只是一个点为 $A_{1}$ 的情况，总的取法个数应该是 $\displaystyle 24 \times \frac{10}{4}=60$ 种（除以 4 是因为四边形有 4 个顶点，被算了 4 遍），故选 A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：固定一个顶点A1，分类讨论其他三个顶点的取法
先考虑取出的四个点中包含A1的情况。当另外三个点中有一个是A2时，另外两个点有3+6=9种取法。
提示：注意对称性，先固定一个顶点简化问题。
步骤 2/4
目标：继续分类讨论其他顶点情况
当另外三个点不取A2但取到A3时，另两个点有2+4=6种取法。类似地，继续分类，总共得到24种取法。
提示：分类要全面，避免遗漏。
步骤 3/4
目标：计算所有顶点情况的总取法数
上述24种取法只是固定A1的情况。由于圆上有10个顶点，每个顶点作为起点都会得到24种，但每个四边形被重复计算了4次（每个顶点一次），所以总数为24×10/4=60。
公式：总数 = 24 × 10 / 4 = 60
提示：注意除以4是因为每个四边形有4个顶点，被重复计算了4次。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，构成梯形的凸四边形个数为60，对应选项A。
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