清华大学 2021年强基第11题
📝 题目
已知非负实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$ ，则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】我们有下式： $$ \begin{equation*} a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)=(a-b)(b-c)(a-c) \tag{1} \end{equation*} $$ 不妨假设 a 最大，则若 $\mathrm{b}>\mathrm{c}$ ，则（1）式的值小于 0 ，显然不会取到最大值，故不妨假设 $a>b>c$记 $a-b=x, b-c=y$ 则 $a-c=x+y$ ，初始条件可以推知 $x+2 y \leq 1$ ，（1）式变为 $x y(x+y)<(1-2 y) y(1-y)=2 y^{3}-3 y^{2}+y$ 求导可知在 $\displaystyle y=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$ 时取得最大值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}$ 此时 $\displaystyle a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}, b=\frac{3-\sqrt{3}}{6}, c=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简表达式
将原式因式分解为(a-b)(b-c)(a-c)。
公式：a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = (a-b)(b-c)(a-c)
提示：注意轮换对称性，可尝试展开验证。
步骤 2/6
目标：确定变量大小关系
由于表达式为轮换对称，可设a最大。若b>c则表达式为负，故最大值在a>b>c时取得。
提示：考虑对称性，不妨设a≥b≥c。
步骤 3/6
目标：引入新变量简化
令x=a-b, y=b-c，则a-c=x+y，且a=1-b-c，结合a+b+c=1可得x+2y≤1。
公式：x = a-b, y = b-c, a-c = x+y
提示：利用非负性得到x,y≥0。
步骤 4/6
目标：将表达式用x,y表示
原式化为xy(x+y)。由a+b+c=1及a=b+x, b=c+y, c=c，得c=1-2y-x，代入得xy(x+y) ≤ (1-2y)y(1-y)。
公式：xy(x+y) ≤ (1-2y)y(1-y)
提示：注意c≥0给出x+2y≤1。
步骤 5/6
目标：求函数最大值
令f(y)=2y^3-3y^2+y，求导f'(y)=6y^2-6y+1=0得y=(3±√3)/6，取y=(3-√3)/6，得最大值√3/18。
公式：f(y)=2y^3-3y^2+y, f'(y)=6y^2-6y+1
提示：注意y∈[0,1/2]，舍去较大根。
步骤 6/6
目标：回代求a,b,c
由y=(3-√3)/6，x=1-2y=(3+√3)/6，得a=x+y=(3+√3)/6，b=y=(3-√3)/6，c=0。
提示：验证a+b+c=1。
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