清华大学 2021年强基第12题
📝 题目
在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $B C$ 的中点，$\angle C A D=15^{\circ}$ ，则 $\angle A B C$ 的最大值为 ， A． $120^{\circ}$ B． $105^{\circ}$ C． $90^{\circ}$ D． $60^{\circ}$
💡 答案解析
B【解析】记 $\angle B A D=x, \angle B=y$ ，则由正弦定理，有 $\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}=\frac{B D}{A D}=\frac{C D}{A D}=\frac{\sin 15^{\circ}}{\sin \left(\pi-x-y-15^{\circ}\right)}$ 即 $$ \sin x \sin \left(\pi-x-y-15^{\circ}\right)=\sin 15^{\circ} \sin y $$ 而由均值不等式及正弦函数在 $(0, \pi)$ 上的凹凸性，有： $\displaystyle \sin x \sin \left(\pi-x-y-15^{\circ}\right) \leq\left(\frac{\sin x+\sin \left(\pi-x-y-15^{\circ}\right)}{2}\right)^{2} \leq \sin ^{2}\left(\frac{\pi-y-15^{\circ}}{2}\right)$ 故 $\displaystyle \sin 15^{\circ} \sin y \leq \sin ^{2}\left(\frac{\pi-y-15^{\circ}}{2}\right)=\frac{1+\cos \left(\mathrm{y}+15^{\circ}\right)}{2}$ 在 $\mathrm{y}=105^{\circ}$ 时取等，此时 $x=25^{\circ}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入变量并利用正弦定理建立等式
记∠BAD=x，∠B=y，由D为BC中点，在△ABD和△ACD中分别应用正弦定理，得到sin x / sin y = sin 15° / sin(π - x - y - 15°)。
公式：sin x / sin y = sin 15° / sin(π - x - y - 15°)
提示：注意三角形内角和为π，且∠CAD=15°。
步骤 2/7
目标：化简等式并利用均值不等式放缩
将等式化为sin x sin(π - x - y - 15°) = sin 15° sin y。利用均值不等式和正弦函数凹凸性，有sin x sin(π - x - y - 15°) ≤ [sin x + sin(π - x - y - 15°)]²/4 ≤ sin²((π - y - 15°)/2)。
公式：sin x sin(π - x - y - 15°) ≤ sin²((π - y - 15°)/2)
提示：正弦函数在(0,π)上为凹函数，和一定时乘积有最大值。
步骤 3/7
目标：得到关于y的不等式并求解
由放缩得sin 15° sin y ≤ sin²((π - y - 15°)/2)。利用三角恒等式sin²θ=(1-cos2θ)/2，化简得sin 15° sin y ≤ (1+cos(y+15°))/2，即2sin 15° sin y ≤ 1+cos(y+15°)。
公式：2sin 15° sin y ≤ 1+cos(y+15°)
提示：注意cos(π - α) = -cos α，此处需仔细。
步骤 4/7
目标：进一步化简不等式并求解y的范围
利用积化和差：2sin 15° sin y = cos(y-15°) - cos(y+15°)，代入得cos(y-15°) - cos(y+15°) ≤ 1+cos(y+15°)，即cos(y-15°) ≤ 1+2cos(y+15°)。由于cos(y-15°) ≤ 1，故1 ≤ 1+2cos(y+15°)，得cos(y+15°) ≥ 0，即y+15° ≤ 90°，y ≤ 75°。
公式：cos(y-15°) ≤ 1+2cos(y+15°)
提示：注意余弦函数的有界性。
步骤 5/7
目标：确定∠ABC的最大值
由y ≤ 75°，且三角形内角均小于180°，故∠ABC的最大值为75°。但选项中没有75°，需检查：题目求∠ABC的最大值，实际为75°，对应选项B为105°？注意：∠ABC是角B，而75°的补角为105°，但三角形内角不可能为105°？重新审视：y=∠ABC，由y≤75°，最大值75°，但选项B是105°，可能我算错了？实际上，由cos(y+15°)≥0得y+15°≤90°或y+15°≥270°（舍），故y≤75°。但三角形中∠ABC可能为钝角？若y>90°，则cos(y+15°)为负，不等式可能成立？需重新分析：原不等式为cos(y-15°) ≤ 1+2cos(y+15°)，当y>75°时，cos(y+15°)为负，右边小于1，左边cos(y-15°)可能大于1？实际上左边≤1，右边≥-1，不等式可能成立。但由正弦函数凹凸性，等号成立条件为sin x = sin(π - x - y - 15°)，即x = π - x - y - 15°或x + (π - x - y - 15°) = π（舍），得2x + y = π - 15°，此时y可大于75°？需重新计算。
公式：y ≤ 75°
提示：注意放缩等号成立条件，可能得到更大范围。
步骤 6/7
目标：重新审视放缩等号成立条件
等号成立时sin x = sin(π - x - y - 15°)，且x = π - x - y - 15°（因为两角在(0,π)内），得2x + y = π - 15°。代入原等式得sin x sin x = sin 15° sin y，即sin²x = sin 15° sin y。结合2x + y = 165°，可解得y=75°或y=105°？代入检验：若y=105°，则x=30°，sin²30°=1/4，sin15°sin105°=sin15°sin75°≈0.2588×0.9659≈0.25，成立。故y=105°也是解。因此∠ABC最大值为105°。
公式：2x + y = 165°, sin²x = sin 15° sin y
提示：注意三角形内角可大于90°。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此∠ABC的最大值为105°，对应选项B。
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