清华大学 2021年强基第13题
📝 题目
已知三棱雉 $D-A B C$ 中，$A C=B C=A D=B D=1$ ，则三棱雉 $D-A B C$ 体积的最大值 。 A．$\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}}{27}$ B．$\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ C．$\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{27}$ D．$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}$
💡 答案解析
C 【解析】记 AB 中点为 $\mathrm{E}, \mathrm{CD}$ 中点为 $\mathrm{F}, \mathrm{BE}=x, \mathrm{BF}=y$ ，则： $$ V A B C D=2 V A B F C=\frac{2}{3} F C \times \frac{1}{2} A B \times E F=\frac{1}{3} x \sqrt{y^{2}-x^{2}} \sqrt{1-y^{2}} $$ 由均值不等式，有： $$ \frac{1}{3} x \sqrt{y^{2}-x^{2}} \sqrt{1-y^{2}} \leq \frac{1}{3} x \frac{y^{2}-x^{2}+1-y^{2}}{2}=\frac{1}{6} x\left(1-x^{2}\right) $$ 求导可知 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时候体积最大为 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{27}$ ，故选 C。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设变量表示几何量
取AB中点E，CD中点F，设BE=x，BF=y，则AB=2x，CF=√(1-y²)，EF=√(y²-x²)。
公式：AB=2x, CF=√(1-y²), EF=√(y²-x²)
提示：利用中点构造垂直关系
步骤 2/5
目标：将体积表示为变量函数
三棱锥体积V=2V_{ABFC}=2×(1/3)×S_{△ABF}×FC，其中S_{△ABF}=(1/2)×AB×EF=x√(y²-x²)，故V=(1/3)x√(y²-x²)√(1-y²)。
公式：V=(1/3)x√(y²-x²)√(1-y²)
提示：注意对称性简化计算
步骤 3/5
目标：应用均值不等式放缩
由均值不等式：√(y²-x²)√(1-y²) ≤ (y²-x²+1-y²)/2 = (1-x²)/2，所以V ≤ (1/3)x·(1-x²)/2 = (1/6)x(1-x²)。
公式：√(a)√(b) ≤ (a+b)/2
提示：消去y变量
步骤 4/5
目标：求函数最大值
令f(x)=x(1-x²)=x-x³，求导f'(x)=1-3x²=0得x=√3/3，此时f(x)=√3/3·(1-1/3)=2√3/9，故V_max=(1/6)×(2√3/9)=2√3/27。
公式：f'(x)=1-3x², 极值点x=√3/3
提示：注意定义域x∈(0,1)
步骤 5/5
目标：得出最终答案
体积最大值为2√3/27，对应选项C。
提示：检查选项
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