清华大学 2021年强基第14题
📝 题目
设 $a$ 为常数，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}, f(x+y)=f(x) f(a-y)+f(y) f(a-x)$ ，则 。 A．$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}$ B．$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}$ 恒成立 C．$f(x+y)=2 f(x) f(y)$ D．满足条件的 $f(x)$ 不止一个
💡 答案解析
ABC 【解析】令 $x=y=0$ ，得 $\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}$ 令 $\mathrm{y}=0$ ，得 $f(x)=f(a-x)$ ，故 $f(x+y)=2 f(x) f(\mathrm{y})$ 取 $x+y=a$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{2}=f(x+y)=2 f(x) f(a-x)=2 f^{2}(x)$ 故 $\displaystyle f(x)= \pm \frac{1}{2}$ 而 $\displaystyle f(x)=2 f\left(\frac{x}{2}\right) f\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$ ，故选 ABC。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：代入特殊值求f(a)
令 $x=y=0$，代入 $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$ 得 $f(0)=f(0)f(a)+f(0)f(a)$，即 $\frac{1}{2}=2\cdot\frac{1}{2}f(a)$，解得 $f(a)=\frac{1}{2}$。
公式：f(0)=f(0)f(a)+f(0)f(a)
提示：注意f(0)=1/2已知，代入后方程两边可约去f(0)。
步骤 2/6
目标：推导f(x)=f(a-x)
令 $y=0$，代入原式得 $f(x)=f(x)f(a)+f(0)f(a-x)$。由第一步知 $f(a)=\frac{1}{2}$，且 $f(0)=\frac{1}{2}$，代入得 $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(a-x)$，两边乘以2得 $2f(x)=f(x)+f(a-x)$，所以 $f(x)=f(a-x)$。
公式：f(x)=f(x)f(a)+f(0)f(a-x)
提示：注意f(a)和f(0)的值已知，代入后移项即可。
步骤 3/6
目标：化简函数方程
利用 $f(x)=f(a-x)$，将原式 $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$ 中的 $f(a-y)$ 替换为 $f(y)$，$f(a-x)$ 替换为 $f(x)$，得 $f(x+y)=f(x)f(y)+f(y)f(x)=2f(x)f(y)$。
公式：f(x+y)=2f(x)f(y)
提示：替换时注意对称性，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：利用对称性求f(x)的具体值
令 $x+y=a$，则 $f(a)=2f(x)f(a-x)$。由第一步 $f(a)=\frac{1}{2}$ 和第二步 $f(x)=f(a-x)$，得 $\frac{1}{2}=2f^2(x)$，所以 $f^2(x)=\frac{1}{4}$，即 $f(x)=\pm\frac{1}{2}$。
公式：f(a)=2f(x)f(a-x)
提示：注意f(x)可能取正负1/2，但需进一步排除负值。
步骤 5/6
目标：排除负值，确定f(x)恒为1/2
由第三步 $f(x+y)=2f(x)f(y)$，令 $x=y=\frac{x}{2}$，得 $f(x)=2f^2\left(\frac{x}{2}\right)$。由于 $f\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\frac{1}{2}$，平方后为 $\frac{1}{4}$，所以 $f(x)=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。因此 $f(x)$ 恒为 $\frac{1}{2}$。
公式：f(x)=2f^2(x/2)
提示：利用平方非负性，排除负值。
步骤 6/6
目标：验证选项
A. $f(a)=\frac{1}{2}$ 正确；B. $f(x)=\frac{1}{2}$ 恒成立正确；C. $f(x+y)=2f(x)f(y)$ 正确；D. 满足条件的 $f(x)$ 只有一个，即常数函数 $\frac{1}{2}$，故D错误。因此选ABC。
提示：注意D选项说不止一个，但实际只有唯一解。
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