清华大学 2021年强基第15题
📝 题目
已知 $m, n$ 最大公约数为 $10!$ ，最小公倍数为 $50!$ ，数对 $(m, n)$ 的组数为 。 A． $2^{9}$ B． $2^{15}$ C． $2^{21}$ D． $2^{18}$
💡 答案解析
B【解析】记 $\mathrm{m}=10!m_{1}, n=10!n_{1}$ ，则 $\displaystyle \left(m_{1}, n_{1}\right)=1,\left[m_{1}, n_{1}\right]=\frac{50!}{10!}$ ，而 $\displaystyle \frac{50!}{10!}$ 有 15 个不同的素因子，所以 $(m, n)$ 组数为 $2^{15}$ ，选 B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设出 m 和 n 的表达式
设 $m = 10! \cdot m_1$，$n = 10! \cdot n_1$，其中 $m_1$ 和 $n_1$ 是正整数。由于 $10!$ 是 $m$ 和 $n$ 的最大公约数，所以 $m_1$ 和 $n_1$ 互质，即 $(m_1, n_1) = 1$。
公式：$m = 10! \cdot m_1$, $n = 10! \cdot n_1$, $(m_1, n_1) = 1$
提示：注意最大公约数已经提取出来，剩余部分互质。
步骤 2/6
目标：利用最小公倍数条件
已知 $[m, n] = 50!$。由于 $[m, n] = 10! \cdot [m_1, n_1]$，且 $m_1$ 和 $n_1$ 互质，所以 $[m_1, n_1] = m_1 n_1$。因此 $10! \cdot m_1 n_1 = 50!$，即 $m_1 n_1 = \frac{50!}{10!}$。
公式：$[m, n] = 10! \cdot [m_1, n_1] = 10! \cdot m_1 n_1 = 50!$
提示：互质时最小公倍数等于乘积。
步骤 3/6
目标：分析乘积的素因子
计算 $\frac{50!}{10!}$ 的素因子个数。$50!$ 和 $10!$ 的素因子都是不超过50的素数。$\frac{50!}{10!}$ 包含的素因子是从11到50的所有素数，以及10以内素数的部分幂次。实际上，$\frac{50!}{10!}$ 的素因子集合就是所有不超过50的素数，共15个：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47。
公式：素数列表：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
提示：注意10!包含2,3,5,7，但50!中这些素数的指数更高，所以相减后仍然存在。
步骤 4/6
目标：确定 m1 和 n1 的分配方式
由于 $m_1$ 和 $n_1$ 互质，且 $m_1 n_1 = \frac{50!}{10!}$，每个素因子只能全部属于 $m_1$ 或全部属于 $n_1$，不能拆分。因此，对于每个素因子，有两种选择：分配给 $m_1$ 或 $n_1$。共有15个素因子，所以分配方式有 $2^{15}$ 种。
公式：分配方式数 = $2^{15}$
提示：注意互质条件强制每个素因子只能属于其中一个数。
步骤 5/6
目标：考虑对称性
数对 $(m, n)$ 是有序的，即 $(m_1, n_1)$ 和 $(n_1, m_1)$ 视为不同的数对，除非 $m_1 = n_1$。但这里 $m_1$ 和 $n_1$ 互质且乘积固定，若 $m_1 = n_1$，则 $m_1^2 = \frac{50!}{10!}$，但 $\frac{50!}{10!}$ 不是完全平方数（因为素因子指数不全是偶数），所以 $m_1 \neq n_1$。因此所有 $2^{15}$ 种分配都对应不同的有序对。
提示：注意有序对和无序对的差别，题目中数对通常指有序。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，数对 $(m, n)$ 的组数为 $2^{15}$，对应选项 B。
提示：检查选项：A. $2^9$, B. $2^{15}$, C. $2^{21}$, D. $2^{18}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。