清华大学 2021年强基第16题
📝 题目
已知 $[x]$ 为高斯函数，$\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=x$ 解的组数为 。 A． 30 B． 40 C． 50 D． 60
💡 答案解析
A【解析】首先，$x$ 为整数，而当 $x\lt 0$ 时，有 $\displaystyle \left|\left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]\right|\gt \left|\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}\right|\gt x$ 故 $\mathrm{x} \geq 0$ ． 而 $x\gt 0$ 时，有 $\displaystyle \mathrm{x}=\left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{5}\right] \geq \frac{x-1}{2}+\frac{x-2}{3}+\frac{x-4}{5}$ ，解得 $x \leq 59$ ，枚举法获得 $x$ 有 30 个不同的取值，故选 A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定x为整数且非负
由于高斯函数取整，左边为整数，故x必为整数。若x<0，左边绝对值大于右边，矛盾，故x≥0。
提示：注意高斯函数性质
步骤 2/4
目标：推导x的上界
当x>0时，有[x/2]≥(x-1)/2，[x/3]≥(x-2)/3，[x/5]≥(x-4)/5，代入方程得x≥(x-1)/2+(x-2)/3+(x-4)/5，解得x≤59。
公式：x ≥ (x-1)/2 + (x-2)/3 + (x-4)/5
提示：利用取整不等式放缩
步骤 3/4
目标：枚举可能的x值
x在0到59之间，且为整数。由于方程左边是三个取整函数之和，右边是x，需逐个验证。实际枚举发现共有30个解。
提示：枚举时注意对称性
步骤 4/4
目标：得出解的组数
经枚举，满足条件的x有30个，故选A。
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