清华大学 2021年强基第17题
📝 题目
恰有一个实数 $x$ 使得 $x^{3}-a x-1=0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为 。 A．$(-\infty, \sqrt[3]{2})$ B．$\displaystyle \left(-\infty, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}\right)$ C．$\displaystyle \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)$ D．$\displaystyle \left(-\infty, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)$
💡 答案解析
B【解析】 $\displaystyle a=\frac{x^{3}-1}{x}$ 对等式右边求导发现右式在 $\displaystyle \left(-\infty,-2^{-\frac{1}{3}}\right)$ 单调递减，在 $\displaystyle \left(-2^{-\frac{1}{3}}, 0\right)$ 以及 $(0, \infty)$上单调递增，画图可得选 B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分离参数a
将方程化为a = (x^3 - 1)/x，其中x≠0。
公式：a = (x^3 - 1)/x
提示：注意x=0不是解，因为代入得-1=0不成立。
步骤 2/8
目标：分析函数f(x) = (x^3 - 1)/x
化简f(x)=x^2 - 1/x，求导得f'(x)=2x + 1/x^2。
公式：f'(x)=2x + 1/x^2
提示：导数用于判断单调性。
步骤 3/8
目标：求导数的零点
令f'(x)=0，即2x + 1/x^2=0，解得x = -1/∛2 = -2^{-1/3}。
公式：2x + 1/x^2 = 0 ⇒ x = -2^{-1/3}
提示：注意x=0处导数不存在，但x=0不在定义域内。
步骤 4/8
目标：判断单调区间
当x<-2^{-1/3}时，f'(x)<0，f递减；当-2^{-1/3}0，f递增；当x>0时，f'(x)>0，f递增。
提示：注意x=0是间断点，左右两侧单调性相同。
步骤 5/8
目标：求极值点函数值
计算f(-2^{-1/3}) = (-2^{-1/3})^2 - 1/(-2^{-1/3}) = 2^{-2/3} + 2^{1/3} = 2^{-2/3} + 2^{1/3} = 2^{-2/3}(1+2) = 3·2^{-2/3} = 3∛2/2。
公式：f(-2^{-1/3}) = 3∛2/2
提示：化简时注意指数运算。
步骤 6/8
目标：分析函数值域
当x→-∞时，f(x)→+∞；当x→0-时，f(x)→+∞；当x→0+时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→+∞。极小值为3∛2/2。
提示：结合单调性画出草图。
步骤 7/8
目标：确定a的取值范围
原方程恰有一个实数解，即直线y=a与f(x)图像只有一个交点。由图像知，a小于极小值3∛2/2时，只有一个交点（在x>0部分）。注意a不能等于极小值，因为此时有两个交点（一个在左侧，一个在极值点）。
公式：a < 3∛2/2
提示：检查a=3∛2/2时，x=-2^{-1/3}和另一个正根，共两个解。
步骤 8/8
目标：写出最终范围
所以a的取值范围是(-∞, 3∛2/2)，对应选项B。
公式：a ∈ (-∞, 3∛2/2)
提示：注意选项B是(-∞, 3∛2/2)，与答案一致。
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