清华大学 2021年强基第18题
📝 题目
已知 $\displaystyle \omega=\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}$ ，则（ ）。 A．$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$ B．$x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$ C．$x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$ D．$x^{4}+x^{3}+x^{2}-x-1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$
💡 答案解析
B【解析】 $\displaystyle \frac{x^{5}-1}{x-1}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1, \frac{x^{5}+1}{x+1}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ ，把 $x=\varpi, \varpi^{3}, \varpi^{7}, \varpi^{9}$ 代入发现 B 正确，故选 B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解ω的性质
已知 $\displaystyle \omega = \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5}$，根据欧拉公式，$\omega = e^{i\pi/5}$。因此 $\omega$ 是10次单位根，满足 $\omega^{10}=1$，且 $\omega^5 = e^{i\pi} = -1$。
公式：$\omega = e^{i\pi/5}, \omega^{10}=1, \omega^5=-1$
提示：注意 $\omega^5=-1$ 而不是1，因为 $\cos\pi + i\sin\pi = -1$。
步骤 2/4
目标：确定多项式的根
选项中的多项式是四次多项式，其根应为 $\omega, \omega^3, \omega^7, \omega^9$。验证这些根是否满足某个五次多项式的关系。由于 $\omega^5=-1$，考虑 $x^5+1=0$ 的根：$x^5=-1$ 的解为 $x = e^{i(\pi+2k\pi)/5} = e^{i\pi(2k+1)/5}$，$k=0,1,2,3,4$。当 $k=0,1,2,3,4$ 时，根分别为 $\omega, \omega^3, \omega^5, \omega^7, \omega^9$。但 $\omega^5=-1$，所以 $x^5+1=0$ 的根是 $\omega, \omega^3, \omega^7, \omega^9$ 和 $-1$。因此 $x^5+1 = (x+1)(x-\omega)(x-\omega^3)(x-\omega^7)(x-\omega^9)$。
公式：$x^5+1 = (x+1)(x-\omega)(x-\omega^3)(x-\omega^7)(x-\omega^9)$
提示：注意 $\omega^5=-1$，所以 $\omega^5$ 不是根，而是 $-1$。
步骤 3/4
目标：因式分解x^5+1
由 $x^5+1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$，因此 $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \frac{x^5+1}{x+1} = (x-\omega)(x-\omega^3)(x-\omega^7)(x-\omega^9)$。
公式：$x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = (x-\omega)(x-\omega^3)(x-\omega^7)(x-\omega^9)$
提示：注意因式分解公式：$a^n+b^n$ 当 $n$ 为奇数时可分解出 $a+b$。
步骤 4/4
目标：对比选项
选项B为 $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = (x-\omega)(x-\omega^3)(x-\omega^7)(x-\omega^9)$，与推导结果一致。其他选项的多项式不同，因此B正确。
提示：注意检查符号，尤其是 $x^4$ 项系数为1，常数项为1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。