清华大学 2021年强基第19题
📝 题目
定义 $\displaystyle x * y=\frac{x+y}{1+x y}$ ，则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】用数学归纳法可证明 $\displaystyle (\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * n=\frac{\prod_{i=2}^{n}(i+1)-\prod_{i=2}^{n}(i-1)}{\prod_{i=2}^{n}(i+1)+\prod_{i=2}^{n}(i-1)}$ 故答案为 $\displaystyle \frac{115}{116}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解运算定义
运算定义为 x * y = (x+y)/(1+xy)，注意分母不能为0。
公式：x * y = \frac{x+y}{1+xy}
提示：观察运算形式，类似双曲正切加法公式。
步骤 2/6
目标：计算前几项寻找规律
计算 2*3 = (2+3)/(1+6)=5/7；再计算 (2*3)*4 = (5/7+4)/(1+20/7)= (33/7)/(27/7)=11/9。
公式：2*3=5/7, (2*3)*4=11/9
提示：注意分数化简。
步骤 3/6
目标：猜想通项公式
设 f(n) = (⋯((2*3)*4)⋯)*n，则 f(3)=5/7, f(4)=11/9。猜想 f(n) = (n+1 - (n-1))/(n+1 + (n-1))? 但需验证。
公式：f(3)=5/7, f(4)=11/9
提示：观察分子分母与n的关系。
步骤 4/6
目标：用数学归纳法证明通项
假设 f(k) = [∏_{i=2}^k (i+1) - ∏_{i=2}^k (i-1)] / [∏_{i=2}^k (i+1) + ∏_{i=2}^k (i-1)]，则 f(k+1)=f(k)*(k+1) 代入运算定义可证。
公式：f(n) = \frac{\prod_{i=2}^n (i+1) - \prod_{i=2}^n (i-1)}{\prod_{i=2}^n (i+1) + \prod_{i=2}^n (i-1)}
提示：注意乘积的化简：∏(i+1)= (n+1)!/2, ∏(i-1)= (n-1)!。
步骤 5/6
目标：代入n=21计算
∏_{i=2}^{21} (i+1) = 22!/2, ∏_{i=2}^{21} (i-1) = 20!。则分子=22!/2 - 20!，分母=22!/2 + 20!。
公式：分子=22!/2 - 20!, 分母=22!/2 + 20!
提示：提取公因式20!。
步骤 6/6
目标：化简结果
分子=20!(21*22/2 -1)=20!(231-1)=20!*230，分母=20!(231+1)=20!*232，所以f(21)=230/232=115/116。
公式：f(21)=\frac{115}{116}
提示：注意约分。
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