清华大学 2021年强基第20题
📝 题目
甲乙丙丁四人共同参加 4 项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为 $4 、 3 、 2 、 1$ 分，比赛结束甲获得 14 分第一名，乙获得 13 分第二名，则 。 A．第三名不超过 9 分 B．第三名可能获得其中一场比赛的第一名 C．最后一名不超过 6 分 D．第四名可能一项比赛拿到 3 分
💡 答案解析
ACD【解析】单独看甲的得分可能为 $4,4,4,2$ 或 $4,4,3,3$ ，但是甲为 $4,4,3,3$ 时乙最高为 $3,3,4,2$ 为 12 分，矛盾，故甲的得分为 $4,4,4,2$ ，乙为 $3,3,3,4$ ，第三名最高为 $2,2,2,3$ ，为 9分，不可能为其中一场比赛的第一名，第三名第四名的得分之和为 13 分，所以最后一名不超过 6 分，第三名得分 $2,2,2,1$ 时，第四名得分为 $1,1,1,3$ ，所以第四名可能有一场比赛得到三分，故选 ACD。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析甲的得分组合
甲总分14分，每项比赛得分4,3,2,1，四项比赛总分和=40分。甲可能组合为4,4,4,2或4,4,3,3。
提示：注意总分和限制
步骤 2/7
目标：排除甲的不可能组合
若甲为4,4,3,3，则乙最高为3,3,4,2=12分，但乙得13分，矛盾。故甲为4,4,4,2。
提示：利用乙的分数限制
步骤 3/7
目标：确定乙的得分组合
乙总分13分，且每项得分不同。由于甲已得三个第一和一个第三，乙只能得三个第二和一个第一，即3,3,3,4。
提示：结合甲的成绩
步骤 4/7
目标：计算第三名最高分
剩余分数：每项比赛第三名和第四名得分之和为3分（因为第一第二已定）。四项共12分，第三名最高为2,2,2,3=9分。
提示：第三名最高分不超过9
步骤 5/7
目标：判断选项A和B
第三名最高9分，故不超过9分，A正确。第三名不可能得第一，因为第一已被甲或乙占据，B错误。
提示：注意第一名归属
步骤 6/7
目标：分析第四名得分范围
第三名和第四名总分13分，第三名至少得2+2+2+1=7分，则第四名最多6分，故不超过6分，C正确。
提示：利用总分和
步骤 7/7
目标：验证第四名可能得3分
若第三名得2,2,2,1，则第四名得1,1,1,3，即有一项得3分，D正确。
提示：构造具体分配
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