清华大学 2021年强基第21题
📝 题目
现有 3 堆货物，每次取一件（从上到下），每次只能拿走最上面一个，有 种取法。 A． 840 B． 900 C． 71 D． 1260 
💡 答案解析
D【解析】采用递推的方法，记三堆个数为 $x, y, z$ 时的取法总数为 $f(x, y, z)$ 则有： $f(x, y, z)=f(x, z, y)=f(y, x, z), f(x, y, z)=f(x-1, y-1, z-1), f(x, y, z)=0(x\lt 0)$ ． 故 $f(1,0,0)=1, f(1,1,0)=2 f(1,0,0)=2, f(2,0,0)=1$ ， $\mathrm{f}(2,1,0)=\mathrm{f}(1,1,0)+\mathrm{f}(2,0,0)=3$ ， $\mathrm{f}(3,0,0)=1, \mathrm{f}(3,1,0)=\mathrm{f}(3,0,0)+\mathrm{f}(2,1,0)=4$ $f(2,2,0)=2 f(2,1,0)=6, f(4,0,0)=1, f(4,1,0)=f(4,0,0)+f(3,1,0)=5$ $f(3,2,0)=f(3,1,0)+f(2,2,0)=10$ $\mathrm{f}(4,2,0)=\mathrm{f}(4,1,0)+\mathrm{f}(3,2,0)=15, \mathrm{f}(3,3,0)=2 \mathrm{f}(3,2,0)=20$ $f(4,3,0)=f(4,2,0)+f(3,3,0)=35$ $f(4,3,2)=f(3,3,2)+f(4,2,2)+f(4,3,1)$ $=3 f(3,2,2)+2 f(3,3,1)+3 f(4,2,1)+f(4,3,0)$ $=13 f(3,2,1)+3 f(2,2,2)+3 f(4,1,1)+2 f(3,3,0)+3(4,2,0)+35$ $=22 f(2,2,1)+16 f(3,1,1)+13 f(3,2,0)+6 f(4,1,0)+120$ $=60 f(2,1,1)+22 f(2,2,0)+32 f(3,1,0)+280$ $=120 f(2,1,0)+60 f(1,1,1)+540$ $=1260$ 故一共有 1260 种，选 D。 22【解析】记 $b_{n}$ 为首尾相同颜色但是相邻颜色不同的个数，则 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义递推函数
设三堆货物的个数分别为 $x, y, z$，取法总数为 $f(x, y, z)$。由于堆的编号不影响取法，有对称性：$f(x, y, z) = f(x, z, y) = f(y, x, z)$。每次只能从三堆中取最上面的一个，因此递推关系为：$f(x, y, z) = f(x-1, y, z) + f(x, y-1, z) + f(x, y, z-1)$，其中若某堆数量为0，则对应项为0。边界条件：$f(0,0,0)=1$（空集），且当任意参数为负时 $f=0$。
公式：f(x, y, z) = f(x-1, y, z) + f(x, y-1, z) + f(x, y, z-1)
提示：注意对称性可简化计算，但递推时需考虑所有可能情况。
步骤 2/5
目标：计算基础情况
计算一些简单情况：
- $f(1,0,0)=1$（只有一件）
- $f(1,1,0)=f(0,1,0)+f(1,0,0)=1+1=2$（两堆各一件，两种顺序）
- $f(2,0,0)=1$（两件在同一堆，只能顺序取）
- $f(2,1,0)=f(1,1,0)+f(2,0,0)=2+1=3$
提示：注意当某堆数量为0时，对应项不出现。
步骤 3/5
目标：逐步递推至 $f(4,3,2)$
利用递推和对称性逐步计算：
- $f(3,0,0)=1$
- $f(3,1,0)=f(2,1,0)+f(3,0,0)=3+1=4$
- $f(2,2,0)=2f(2,1,0)=6$（对称性）
- $f(4,0,0)=1$
- $f(4,1,0)=f(3,1,0)+f(4,0,0)=4+1=5$
- $f(3,2,0)=f(2,2,0)+f(3,1,0)=6+4=10$
- $f(4,2,0)=f(3,2,0)+f(4,1,0)=10+5=15$
- $f(3,3,0)=2f(3,2,0)=20$
- $f(4,3,0)=f(3,3,0)+f(4,2,0)=20+15=35$
提示：利用对称性 $f(x,y,0)=f(y,x,0)$ 可减少计算。
步骤 4/5
目标：计算 $f(4,3,2)$ 的递推展开
直接计算 $f(4,3,2)$：
$f(4,3,2) = f(3,3,2) + f(4,2,2) + f(4,3,1)$
利用对称性和已得结果，逐步化简。例如 $f(3,3,2)=f(3,2,3)$，再展开。最终通过多次递推，得到 $f(4,3,2)=1260$。
提示：展开时注意利用已计算的值，避免重复计算。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
经过一系列递推计算，得到 $f(4,3,2)=1260$，因此共有1260种取法，对应选项D。
提示：检查计算过程，确保没有遗漏或重复。
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